Мінімальний многочлен
Нехай задана дійсна матриця $A$ розміром $n \times n.$
- Лема М1
- Існує дійсний многочлен $p$ такий, що $p(A) = 0.$
Нехай серед усіх таких многочленів такий, щоб мав найменший степінь і був нормованим, тобто перший коефіцієнт був $1.$ Називатимемо такий многочлен *мінімальним многочленом* матриці $\mathbf A.$
- Лема М2
- Мінімальний многочлен - унікальний.
- Лема М3
- Якщо $p$ це деякий многочлен, для якого $p(A) = 0,$ тоді $m$ ділить $p.$
- Лема М4
- Якщо $\lambda $ це в-значення $\mathbf A,$ тоді воно корінь $m.$
Теорема Гамільтона — Келі: Нехай $\chi(t) = \det(\mathbf A - t\mathbf I)$ буде характеристичним многочленом $\mathbf A.$ Тоді $\chi(\mathbf A) = 0.$
- Лема М5
- Якщо $\chi(t) = \prod_{i=1}^r (t-\lambda_i)^{a_i},$ то що ми можемо сказати про $m(t)?$
- Лема М6
- $\chi(t)$ і $m(t) - $ інваріанти щодо зміни базису.
Жорданові клітини і жорданова нормальна форма
$\mathbf J = \begin{pmatrix} a & 1 & & \\ & a & 1 \\ & & a & 1 \\ & & & a \\ \end{pmatrix} - $ жорданова клітина, $\begin{pmatrix} \mathbf J_1 & & & \\ & \mathbf J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \mathbf J_k \\ \end{pmatrix} - $ жорданова нормальна форма.
Лема Ж1: Нехай $\mathbf J - $ жорданова клітина з $\lambda$ на діагоналі. Тоді $\lambda - $ єдине в-значення з власним простором розмірності $1.$
Лема Ж2: Нехай $\mathbf J$ це жорданова клітина розміру $k \times k,$ тоді $(\mathbf J - \lambda \mathbf I)^n = 0$ для $n = k$ і не рівна нулю для $n < k.$
Лема Ж3: Якщо $A, B$ це блочні матриці з однаковими розмірами блоків, тоді
$\begin{pmatrix} \mathbf A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \mathbf A_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf B_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \mathbf B_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf A_1\mathbf B_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \mathbf A_n\mathbf B_n \end{pmatrix}$- Теорема
-
Припустимо, що задана $\mathbf A$ в нормальній жордановій формі. Припустимо, що відмінні діагональні елементи це $\lambda_1, \dots, \lambda_k,$ і $\lambda_i$ з'являється $a_i$ раз. Припустимо, що кількість жорданових клітин з $\lambda_i$ на діагоналі становить $g_i.$ І припустимо, що найбільша жорданова клітина з $\lambda_i$ на діагоналі має розмір $c_i.$ Тоді
- $\chi(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{a_i}$
- $m(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{с_i}$ (степінь $(t-\lambda_i)$ в $m(t)$ це розмір найбільшої $\lambda_i$-клітини)
- $\dim\ker(\mathbf A - \lambda_i \mathbf I) = g_i$ (вимірність в-простору $\lambda_i$ це кількість $\lambda_i$-клітин)
- Раз $\mathbf A$ в ЖНФ, то вона верхньотрикутна, отже її в-значення у неї на головній діагоналі.
- Згідно з першим пунктом і М4 маємо, що $m(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{k_i}$ для деяких $k_i.$ Тепер, для того, щоб _вбити_ найбільшу клітину для $j$-го в-значення потрібно $\mathbf A - \lambda_j \mathbf I$ піднести до $c_j$ степеня. Отже, якщо $k_i = c_i,$ то в $(A-\lambda_i)^{k_i}$ всі $\lambda_i$-клітини нульові. Отже, використовуючи Ж3, щоб отримати нулі для $\lambda_p$ і $\lambda_q$ нам треба взяти $(\mathbf A - \lambda_p \mathbf I)^{c_p}(\mathbf A - \lambda_q \mathbf I)^{c_q}.$ Роблячи це для всіх в-значень ми отримуємо нульову матрицю.
- Згідно з Ж1 маємо по одному виміру в-простору для кожної жорданової клітини.