Перетворення Лоренца

Постулати теорії відносності

1. Всі інерційні спостерігачі тотожні щодо всіх природних явищ.
2. Швидкість світла незалежна від стану руху джерела чи спостерігача.

В певний момент ми мали, що $x = t = 0, x' = t' = 0.$

$$\begin{equation} \begin{cases} x' = (x - ut)\gamma \\ x = (x' + ut')\gamma \\ \end{cases} \end{equation}$$

Припустимо, що в момент часу коли наші позиції спостерігачів збігались, вони випустили спалах світла. Детектор світла виявив цю подію в $(x, t) = S$ або $(x', t') = S'.$

Для нас важливе відношення між $x'$ та $t'$, це є $x' = ct'$, але також $x = ct.$ Звідси ми можемо знайти множник $\gamma.$

$$\begin{align} xx' &= \gamma^2(xx'+uxt'-ux't-utt') \nonumber \\ 1 &= \gamma^2(1+u\frac{t'}{x'}-x\frac{t}{x}-u\frac{t'}{x'}\frac{t}{x}) \nonumber \\ 1 &= \gamma^2(1-\frac{u}{c^2}) \nonumber \\ \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align}$$ тут ми використали те, що $x' = ct'$ і $x = ct.$ Далі ми отримуємо $$\begin{equation} \boxed{x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \ \ \ t' = \frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}} \end{equation}$$ Це перетворення називається перетворенням Лоренца.