Нотатки на курс "Вступ до комплексного аналізу"

Аналітичність

Теорема

Нехай $f = u + iv$ визначена в області $D \subset C$. Тоді $f$ - аналітична в $D$ ТТТ, якщо $u(x, y)$ і $v(x, y)$ мають неперервні перші частинні похідні в $D$, які задовольняють рівнянням Коші-Рімана.

Інтегрування

Означення

Нехай $D \subset C$ буде областю визначення і нехай $f : D \to C$ буде неперервною функцією. Первісна $f$ у $D$ - це аналітична функція $F : D \to C$ така, що $F' = f$ у $D$.

Теорема

Якщо $f$ - це неперервна функція в області $D$ і, якщо $f$ має первісну $F$ в $D$, тоді для будь-якої кривої $\gamma : [a, b] \to D$ маємо, що $$\int_{\gamma}f(z)dz = F(\gamma(b)) − F(\gamma(a)).$$

Коли $f$ має первісну?

Теорема (Коші для трикутників)

Нехай $D$ буде відкритою множиною в $C$ і нехай $f$ буде аналітичною в $D$. Нехай $T$ буде трикутником, що вміщається в $D$ (включно з границею) і нехай $\delta T$ буде його границею, орієнтованою позитивно. Тоді $$\int_{\delta T}f(z)dz = 0.$$

Теорема (Морери)

Якщо $f$ неперервна у однозв'язній області $D$ і, якщо $\int_{\gamma}f(z)dz = 0$ для кожної трикутної кривої в $D$, тоді $f$ має первісну в $D$.

Теорема (Ґурсата)

Нехай $D$ буде однозв'язною областю в $C$, і нехай $f$ буде аналітичною в $D$. Тоді $f$ має первісну в $D$. Більше того, первісна задається явно вибором точки $z_0 \in D$ і покладенням $$F(z) = \int_{z_0}^z f(w)dw,$$ де інтеграл береться по довільній кривій в $D$ від $z_0$ до $z$.

Теорема (Коші для однозв'язних областей)

Нехай $D$ буде однозв'язною областю в $C$ і нехай $f$ - аналітична в $D$. Нехай $\gamma : [a, b] \to D$ буде кусково гладкою, замкнутою кривою в $D$ (тобто $\gamma(b) = \gamma(a)$). Тоді $$\int_{\gamma}f(z)dz = 0.$$

Наслідок

Нехай $\gamma_1$ і $\gamma_2$ - це дві прості замкнуті криві (тобто жодна з них не перетинає саму себе), орінтовані проти годинникової стрілки, при чому $\gamma_2$ всередині $\gamma_1$. Якщо $f$ аналітична в області $D$, яка містить обидві криві і область між ними, тоді $$\int_{\gamma_1}f(z)dz =\int_{\gamma_2}f(z)dz.$$

Теорема (інтегральна формула Коші)

Нехай $D$ - це однозв'язна область, обмежена кусково гладкою кривою $\gamma$, і нехай $f$ аналітична на множині $U$, що містить в собі замкнення $D$ (тобто $D$ і $\gamma$). Тоді $$f(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-w}dz$$ для всіх $w \in D.$

Теорема

Якщо $f$ аналітична у відкритій множині $U$, тоді $f'$ також аналітична в $U$.

Теорема (інтегральна формула Коші для похідних)

Нехай $D$ - це однозв'язна область, обмежена кусково гладкою кривою $\gamma$, і нехай $f$ аналітична на множині $U$, що містить в собі замкнення $D$ (тобто $D$ і $\gamma$). Тоді $$f(w)^{(k)} = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z − w)^{k+1}}dz$$ для всіх $w \in D, k ≥ 0$.

Це дуже захоплююча теорема, бо для обчислення значення $f$ або її похідної в будь-якій точці з області обмеженої кривою $\gamma$ нам необхідно знати лише значення функції на самій кривій.

Теорема (оцінка Коші)

Припустимо, що $f$ аналітична у відкритій множині, що містить $B_r(z_0)$, і що $|f(z)| \le m$ виконується на $\delta B_r(z_0)$ для деякої сталої $m$. Тоді для всіх $k \ge 0$, $$|f^{(k)}(z_0)| \le \frac{k!m}{r^k}.$$

Теорема (Ліувілля)

Нехай $f$ аналітична на всій комплексній площині. Якщо $f$ обмежена, тоді $f$ мусить бути сталою.

З цієї теореми випливає, що раз $\sin z$ аналітична на всій комплексній площині і вона не костантна, то значить, що вона сягає $\infty$ в якомусь напрямку. І дійсно, такий напрямок може бути $ni$.

Теорема (Принцип максимума)

Нехай $f$ аналітична в $D$ і припустимо, що існує точка $z_0 \in D$ така, що $|f(z)| \le |f(z_0)|$ для всіх $z \in D$. Тоді $f$ константна в $D$.

Наслідок

Якщо $D \subset C$ - це обмежена область і якщо $f : D \to C$ неперервна і аналітична в $D$, тоді $|f|$ досягає максимума на $\delta D$.

Ряди

Теорема (Про розкладення в ряд Лорана)

Якщо $f:U\to\mathbb{C}$ аналітична і $\{r < |z-z_0|< R\} \subset U$, тоді $f$ можна розкласти в ряд Лорана: $$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k(z-z_0)^k,$$ який збігається в кожній точці кільця і збігається абсолютно і рівномірно в кожному підкільці $\{s\le |z-z_0|\le t\}$, де $ r < s < t < R $.

Теорема

Якщо $f$ аналітична в $\{r < |z-z_0| < R\}$, тоді $$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k(z-z_0)^k,$$ де $$a_k = \frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=s}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}dz$$ для будь-якого $s$ між $r$ і $R$ і всіх $k\in \mathbb{Z}$.

Це не видається дуже корисним для знаходження значень $a_k$, але це може допомогти оцінити значення деяких з них.

Означення

Точка $z_0$ - ізольована сингулярність $f$, якщо $f$ - аналітична в проколотому диску $\{0 < |z − z_0| < r\}$ з центром $z_0$.

Якщо $f$ має ізольовану сингулярність в $z_0$, тоді $f$ має розклад Лорана. Члени ряду з від'ємними степенями називаються головною частиною, а з додатніми - правильною частиною ряду. Можливі три типи поведінки:

1. Відсутність від'ємних сетепенів $z$: $f(z) = \frac{\cos z - 1}{z^2} = \frac{1}{z^2}\left(-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-+\cdots\right)$.
2. Скінченна кількість від'ємних степенів $z$: $f(z) = \frac{\cos z}{z^4} = \frac{1}{z^4}\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-+\cdots\right)$.
3. Нескінченна кількість від'ємних степенів $z$: $f(z) = \cos\left(\frac{1}{z}\right) = 1 - \frac{1}{2!} \frac{1}{z^2} + \frac{1}{4!}\frac{1}{z^4} - \frac{1}{6!}\frac{1}{z^6} +- \cdots$

Означення

Припустимо, що $z_0$ це ізольована сингулярність аналітичної функції $f$ з рядом Лорана $$\sum^{\infty}_{k=−\infty} a_k (z − z_0)^k, 0 < |z − z_0| < r.$$ Тоді сингулярність $z_0$ є

• усувною, якщо $a_k = 0$ для всіх $k < 0$.
• полюсом, якщо існує $N > 0$ таке, що $a_{−N} \neq 0$, але $a_k = 0$ для всіх $k < −N$. Індекс $N$ - порядок полюса.
• істотною, якщо $a_k \neq 0$ для нескінченної кількості $k < 0$.

Теорема (Касораті-Веєрштраса)

Припустимо, що $z_0$ це істотна сингулярність $f$. Тоді для кожної точки $w_0 \in \mathbb{C}$ існує послідовність $\{z_n\}$ із $z_n \to z_0$ така, що $f(z_n) \to w_0$ коли $n \to ∞$.

Означення

Якщо $f$ має ізольовану сингулярність в $z_0$ з таким рядом Лорана $$f(z) = \sum^{\infty}_{k=−\infty} a_k (z − z_0)^k, 0 < |z − z_0| < r$$, тоді лишок $f$ в $z_0$ це $\operatorname{Res}(f, z0) = a_{-1}$.

Теорема (про лишки)

Нехай $D$ буде однозв'язною областю і нехай $f$ аналітична $D$, окрім як в ізольованих сингулярностях. Нехай $C$ - проста замкнута крива в $D$ (орієнтована проти годинникової стрілки), і нехай $z_1, \dots , z_n$ - ізольовані сингулярності $f$, які оточені $C$. Тоді $$\int_C f(z)dz = 2\pi i\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_k)$$.

• Лишок в усувній сингулярності дорінює $0$.
• Лишок в полюсі можна знайти за формулою $$\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{−1} = \frac{1}{(n − 1)!} \lim_{z\to z_0}\frac{d^{n−1}}{dz^{n−1}}\left((z − z_0)^nf(z)\right).$$