Збірка широковживаних тестів значущості пов'язаних з нормальним розподілом

Тут я наведу декілька тестів, що працюють з нормально розподіленими даними. Це марна справа намагатись запам'ятати ці тести, натомість ви маєте бути в змозі знайти необхідний тест коли це буде потрібно.

$z$-тест

• Використання: Чи рівні середні значення популяції і гіпотетичне середнє.
• Дані: $x_1, x_2, \dots, x_n$.
• Припущення: Дані - це незалежні нормальні проби: $x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$, де $\mu$ невідоме, а $\sigma$ - відоме.
• $H_0$: для певного $\mu_0$, $\mu = \mu_0$.
• $H_A$: $\mu \ne \mu_0, \mu > \mu_0, \mu < \mu_0$.
• Тестова статистика: $z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
• Нульовий розподіл: $f(z|H_0)$ - це густина ймовіності $Z\sim N(0,1)$.
• $p$-значення:

  Двостороння:	$p = P(|Z| > z) = 2 * (1 - \mbox{pnorm}(|z|, 0, 1))$
  Одностороння-більше:	$p = P(Z > z) = 1 - \mbox{pnorm}(z, 0, 1)$
  Одностороння-менше:	$p = P(Z > z) = \mbox{pnorm}(z, 0, 1)$

Одновибірковий $t$-тест

• Використання: Чи рівні середні значення популяції і гіпотетичне середнє.
• Дані: $x_1, x_2, \dots, x_n$.
• Припущення: Дані - це незалежні нормальні проби: $x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$, де $\mu$ і $\sigma$ невідомі.
• $H_0$: для певного $\mu_0$, $\mu = \mu_0$.
• $H_A$: $\mu \ne \mu_0, \mu > \mu_0, \mu < \mu_0$.
• Тестова статистика: $t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$,
  де $s^2$ - це дисперсія вибірки: $s^2 = \frac {1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2$
• Нульовий розподіл: $f(t|H_0)$ - це густина ймовіності $T\sim t(n-1)$. (t-розподіл Стьюдента з $n-1$ ступенем свободи)
• $p$-значення:

  Двостороння:	$p = P(|Z| > z) = 2 * (1 - \mbox{pt}(|z|, n-1))$
  Одностороння-більше:	$p = P(Z > z) = 1 - \mbox{pt}(z, n-1)$
  Одностороння-менше:	$p = P(Z > z) = \mbox{pt}(z, n-1)$

Двовибірковий $t$-тест

Випадок рівних дисперсій

• Використання: Чи різняться середні значення двох популяцій на гіпотетичну величину.
• Дані: $x_1, x_2, \dots, x_n$ і $y_1, y_2, \cdots, y_m$.
• Припущення: Дані - це незалежні нормальні проби: $x_i \sim N(\mu_x, \sigma^2)$, $y_i \sim N(\mu_y, \sigma^2)$, де $\mu_x$ і $\mu_y$ невідомі, можливо різні і $\sigma$ також невідома.
• $H_0$: для певного $\mu_0$, $\mu_x - \mu_y = \mu_0$.
• $H_A$: $\mu_x - \mu_y \ne \mu_0, \mu_x - \mu_y > \mu_0, \mu_x - \mu_y < \mu_0$.
• Тестова статистика: $z = \frac{\bar{x}-\bar{y} - \mu_0}{s_{\bar{x}-\bar{y}}}$,
  де $s_x^2, s_y^2$ - це дисперсі] двох вибірок, а $s_{\bar{x}-\bar{y}}$ - оцінкова дисперсія: $$\begin{equation} s_{\bar{x}-\bar{y}} = s_P\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\right)\label{eq:sdiff} \end{equation}$$ де $s_P$ - об'єднана (pooled) дисперсія (cереднє зважене): $$\begin{equation} s_P = \frac{(n-1)s_x^2 + (m-1)s_y^2}{n+m-2} \end{equation}$$ де кількість ступенів свободи $df = n+m-2$.
  Множник $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}$ в $\eqref{eq:sdiff}$ випливає з того факту, що $\mbox{Var}(\bar{x}) = \frac{\sigma_x^2}{n}$ і $\mbox{Var}(\bar{x}-\bar{y}) = \frac{\sigma_x^2}{n} + \frac{\sigma_y^2}{m} = \sigma^2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right)$, бо $\sigma_x = \sigma_y = \sigma$.
• Нульовий розподіл: $f(t|H_0)$ - це густина ймовіності $T\sim t(df)$.
• $p$-значення:

  Двостороння:	$p = P(|Z| > z) = 2 * (1 - \mbox{pt}(|z|, n-1))$
  Одностороння-більше:	$p = P(Z > z) = 1 - \mbox{pt}(z, n-1)$
  Одностороння-менше:	$p = P(Z > z) = \mbox{pt}(z, n-1)$

Випадок відмінних дисперсій

Цей випадок майже повністю повторює випадок з рівними дисперсіями, нам лише треба змінити наші припущення і формулу для об'єднаної дисперсії.

• Використання: Чи різняться середні значення двох популяцій на гіпотетичну величину.
• Дані: $x_1, x_2, \dots, x_n$ і $y_1, y_2, \cdots, y_m$.
• Припущення: Дані - це незалежні нормальні проби: $x_i \sim N(\mu_x, \sigma^2)$, $y_i \sim N(\mu_y, \sigma^2)$, де $\mu_x$ і $\mu_y$ невідомі і різні і $\sigma$ також невідома.
• $H_0$: для певного $\mu_0$, $\mu_x - \mu_y = \mu_0$.
• $H_A$: $\mu_x - \mu_y \ne \mu_0, \mu_x - \mu_y > \mu_0, \mu_x - \mu_y < \mu_0$.
• Тестова статистика: $z = \frac{\bar{x}-\bar{y} - \mu_0}{s_{\bar{x}-\bar{y}}}$, де $$\begin{equation} s_{\bar{x}-\bar{y}} = \frac{s_x^2}{n} + \frac{s_y^2}{m},\ df = \frac{(s_x^2/n+s_y^2/m)^2}{\frac{(s_x^2/n)^2}{n-1}+\frac{(s_y^2/m)^2}{m-1}} \end{equation}$$
• Нульовий розподіл: $f(t|H_0)$ - це густина ймовіності $T\sim t(df)$.
• $p$-значення:

  Двостороння:	$p = P(|Z| > z) = 2 * (1 - \mbox{pt}(|z|, n-1))$
  Одностороння-більше:	$p = P(Z > z) = 1 - \mbox{pt}(z, n-1)$
  Одностороння-менше:	$p = P(Z > z) = \mbox{pt}(z, n-1)$