Формула експоненційного відгуку (ФЕВ)
Припустимо, що ми маємо рівняння $P(D)x = e^{rt}.$ Давайте спробуємо експоненційний розв'язок $x = A e^{rt}:$
$$e^{rt} = P(D)x = P(D)(Ae^{rt}) = AP(r)e^{rt}.$$
Отже, $A = 1/P(r)$ і розв'язком буде
$$x_p(t) = \frac{e^{rt}}{P(r)}.$$
Це виконується якщо $P(r) \ne 0.$
Комплексна заміна.
ФЕВ чарівно поєднується з формулою Ейлера. Якщо коефіцієнти многочлена $P(r)$ дійсні, то
$$\operatorname{Re}(P(D)f(t)) = P(D)\operatorname{Re}(f(t)).$$
З цього випливає, що розв'язок лінійного диф. рівняння
$$P(D)x = \cos (\omega t)$$
зі сталими дійсними коефіцієнтами це дійсна частина розв'язку іншого рівняння
$$P(D)z = e^{i\omega t}.$$
Це називається
комплексною заміною.
Узагальнена ФЕВ
Випадок коли $P(r) = 0.$ Гляньмо ще раз на головне рівняння використане ФЕВ
$$P(D)e^{rt} = P(r)e^{rt}.$$
Використаємо як змінну $r$ і продиференціюємо щодо $r$.
$$
\begin{align*}
P(D)te^{rt} &= P'(r)e^{rt} + P(r)re^{rt} &&\\
&= P'(r)e^{rt} && \mbox{бо} \ P(r) = 0
\end{align*}
$$
Раз це виконується, то $\frac{te^{rt}}{P'(r)}$ це розв'язок $P(D)x = e^{rt}.$
Ми можемо продовжити процес: Якщо $P(r) = \cdots = P^{(k-1)} = 0$, але $P^{(k)}\ne 0,$ тоді
\begin{equation}\frac{t^ke^{rt}}{P^{(k)}(r)}\label{gen_erf}\end{equation}
це розв'язок
$$P(D)x = e^{rt}.$$
Комплексне підсилення
Поєднання комплексної заміни і ФЕВ надає критичну інформацію про синусоїдальний розв'язок рівнянь у вигляді
$$P(D)x = Q(D)(\mbox{синусоїда}).$$
Цей метод дає синусоїдальний розв'язок у вигляді
$$x_p(t) = \operatorname{Re}(Ge^{i\omega t})$$
де $\omega$ - це кутова швидкість входової синусоїди, а $G$ - це деяка комплексна стала.
Якщо виразити $G$ в полярній формі:
$$G=|G|e^{-i\phi },\quad \mbox{отже}\quad \phi =-\mathrm{arg}(G).$$
Тоді дійсна частина становитиме:
$$|G|\cos(\omega t - \phi).$$
У випадку рівняння
$$P(D)z = Q(D)e^{i\omega t},$$
знаходимо, що
$$G(\omega)=\frac{Q(i\omega)}{P(i\omega)}.$$
Це комплексне число називається
комплексним підсиленням. Воно містить в собі
підсилення і
фазове запізнення.
Трошки термінології
$\omega_n$ -
природна частота. У випадку коли входова частота збігається з природною, то кажуть, що система в
чистому резонансі, і тоді $\omega_n$ - це
резонантна частота.
Приклад використання ФЕВ і перетворення Лапласа
Розглянемо рівняння:
$$\ddot x + 9x = 9\cos(3t).$$
Для розв'язання ми можемо використати комплексне підсилення разом ФЕВ або
перетворення Лапласа. Для використання перетворення Лапласа нам необхідно задати початкові умови. Нехай $x(0) = 2, \dot x(0) = 0$.
Проведемо комлексну заміну, тобто ми шукатимемо дійсну частину розв'язку такого рівняння:
$$\ddot x + 9x = 9e^{i3t}$$
Тут $P(D) = D^2 + 9$, отже маємо, що $P(i3) = 0.$ Тому нам необхідно використати узагальнену ФЕВ. Використавши \ref{gen_erf}, маємо:
$$x=Re\left(\frac{9te^{i3t}}{6i}\right) = \frac{3}{2}t\sin(3t).$$
Для задоволення початкових умов, нам потрібен розв'язок $a\cos(3t)+b\sin(3t)$ відповідного однорідного рівняння $\ddot x + 9x = 0.$ Із нашими початковими умовами $a = 2, b = 0.$ І повний розв'язок такий: $\boxed{x = \frac{3}{2}t\sin(3t) + 2\cos(3t)}.$
Тепер використаємо перетворення Лапласа. Спочатку застосуємо перетворення Лапласа до обох боків рівняння. Таким чином ми перейдемо від диференціальної до алгебричної задачі.
\begin{align*}
\mathcal{L}(9\cos(3t)) &= \frac{9s}{s^2 + 9}\\
\mathcal{L}(x) &= X\\
\mathcal{L}(\ddot x) &= s^2X - sx(0) - \dot x(0)= s^2X - 2s\\
\end{align*}
Тепер ми маємо алгебричне рівняння від $X$:
\begin{align*}
s^2X - 2s + 9X &= \frac{9s}{s^2+9}\\
X(s^2+9) &= \frac{9s}{s^2+9} +2s\\
X &= \frac{9s}{(s^2+9)^2} + \frac{2s}{s^2+9}\\
\end{align*}
Зараз нам треба знайти зворотнє перетворення Лапласа для $X$. Із другим доданком все просто, він з точністю до сталої - табличний.
$$\mathcal L^{-1}(\frac{2s}{s^2+9}) = 2\cos(3t)$$
З першим доданком трошки цікавіше.
$$\mathcal L^{-1}\left(\frac{9s}{(s^2+9)^2}\right) = L^{-1}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{s^2+9}\right)'\right) = \frac{3}{2}t\sin(3t)$$
Отже, $\boxed{x = \frac{3}{2}t\sin(3t) + 2\cos(3t)}.$
Так, обидва методи дали ту саму відповідь, що ми й очікували.
Ремарка на перетворення Лапласа
Звернімо увагу, що зворотне перетворення Лапласа не однозначне, бо інтервал інтегування це $0, +\infty$. Тому частина, що менше або рівна нулю може бути будь-якою. Через це
| Якщо задача починається зараз і продовжується в майбутньому і вам не потрібно нічого знати про минуле, це задача на перетворення Лапласа. Якщо вам треба знати про минуле, то це задача на перетворення Фур'є. |
