Лапласіан радіальної функції

Нехай $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} - $ це радіальна функція, тобто $f(x)=f(r)$ де $r:=\left\|x\right\|_2$. Тоді $$\Delta f=\frac{1}{r^{n-1}}\frac{d}{dr}(r^{n-1}f').$$

Доведення:

З одного боку, $$\frac{1}{r^{n-1}}\frac{d}{dr}\left(r^{n-1}f'\right) = \frac{1}{r^{n-1}} \left( (n-1)r^{n-2} f' + r^{n-1} f'' \right) = \frac{n-1}{r}f' + f''$$ З іншого боку, градієнт $f - $ це $$ \begin{align*} \displaystyle \nabla f& = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}f,\dots,\frac{\partial}{\partial x_n}f\right)\\ & = \Bigg(\frac{\partial r}{\partial x_1}\frac{\partial f}{\partial r},\dots,\frac{\partial r}{\partial x_n}\frac{\partial f}{\partial r}\Bigg)\\ & = \Bigg(\frac{x_1}{r}f',\dots,\frac{x_n}{r}f'\Bigg)\\ & = \frac{\vec{r}}{r}f',\\ \end{align*} $$ де $\frac{\partial r}{\partial x_i} = \left(\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}\right)'_{x_i} = \frac{2x_i}{2\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}} = \frac{x_i}{r}.$

Тепер ми можемо обчислити Лапласіан $f.$

$$ \begin{align*} \nabla\cdot\nabla f& = \nabla\cdot\left(\frac{x_1}{r}f',\dots,\frac{x_n}{r}f'\right) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{r}f'\right)'_{x_i}\\ & = \sum_{i=1}^n \left(\frac{1\cdot r - x_i\cdot x_i/r}{r^2}f' + \frac{x_i}{r}f''\frac{\partial r}{\partial x_i}\right)\\ & = \left( \frac{n}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{r}}{r^3}\right) f' + \frac{\vec{r}\cdot\vec{r}}{r^2}f'' = \frac{n-1}{r}f' + f'' \end{align*} $$ Отже, $\boxed{\displaystyle \Delta f = \frac{1}{r^{n-1}}\frac{d}{dr}\left(r^{n-1}f'\right).}$

По дорозі до Нав'є — Стокса

Загальна транспортна теорема

Нехай $\mathbf F$ буде гладким векторним або скалярним полем в області $\mathcal R(t)$ чиї межі це $\mathcal S(t),$ і нехай $\mathbf W$ буде полем швидкостей часозалежного руху $\mathcal S(t).$ Тоді $$\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf F(x, t)\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F\mathbf W \cdot \mathbf n\ dA.$$

Транспортна теорема Рейнольдса

Нехай $\mathbf\Phi$ буде гладким векторним або скалярним полем, і припустимо, що $\mathcal R(t)$ це пакунок плину з поверхнею $\mathcal S(t),$ що мандрує зі швидкістю потоку $\mathbf U.$ Тоді $$\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf\Phi\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial\mathbf\Phi}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\mathbf\Phi \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.$$

Виведення з Загальної транспортної теореми.

Якщо наша область рухається зі швидкістю потоку, то $\mathbf W = \mathbf U$ і загальна похідна перетворюється на матеріальну.¹

Рівняння неперервності для контрольного об'єму

Почнемо з розглядання фіксованої маси плину $m,$ що міститься в довільній області $\mathcal R(t).$ $$m=\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.$$ $\mathcal R(t), m$ можуть змінюватись з часом, але маса повинна залишатись незмінною. Наприклад, можна розглянути повітряну кульку з теплим повітрям у холодному середовищі. $$\frac{dm}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.$$ Застосувавши загальну транспортну теорему маємо: $$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf W\cdot \mathbf n\ dA = 0.$$ У плинових системах зазвичай зручно вважати, що поле швидкостей $\mathbf W$ було полем швидкостей плину, що відповідає розгляданню на локальному рівні нашої області як пакунок плину. $$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf U\cdot \mathbf n\ dA = 0.$$ Використавши формула Остроградського-Гауса ми позбуваємось двох типів інтегралів залишаючи лише інтеграл по об'єму: $$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.$$ З того, що область $\mathcal R(t)$ було обрана довільно ми можемо вважати, що це діє і для наскільки завгодно малої області (в рамках нашої гіпотези неперервності), тобто інтеграл мусить бути нулем усюди в $\mathcal R(t)$. Якщо це не так ми можемо розділити $\mathcal R(t)$ на дві підобласті додатну і від'ємну і показити цим порушення рівності нулю. Отже, $$\begin{equation}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U=0\label{eq:cont_eq_df}\end{equation}.$$ Це диференціальна форма рівняння неперервності.
Якщо розписати оператор дивергенції, то маємо $$\begin{equation} \rho_t + (\rho u)_t + (\rho v)_t + (\rho w)_t = 0\label{eq:cont_eq_div_decomp}\end{equation}.$$ Тепер можна використати добутку для похідних $$\frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot \mathbf U = 0\label.$$ У випадку нестисного потоку, $\rho - $ стале, маємо $$\begin{equation}u_x + v_y + w_z = 0\label{eq:incompres_uvw}\end{equation}.$$

Аналіз у випадку контрольного об'єму

Оскільки $\ref{eq:cont_eq_df}$ виконується для будь-якого об'єму, то ми можемо записати його і для пакунку плину $$\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.$$ Тепер ми використаємо формулу Остроградського-Гауса в іншому напрямку $$\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)} \rho \mathbf U \cdot \mathbf n = 0.$$ Тепер Загальну транспортну теорему $$\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.$$ Якщо $\mathcal S_e(t)$ - зона входів і виходів через які плин може втікати і витікати, то $$\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S_e(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.$$ Це рівняння називається рівняння неперервності для контрольного об'єму і виражає очевидний факт, що

$\{$

швидкість збільшення маси контрольного об'єму

$\}$

=

$\{$

сумарний потік крізь поверхню

$\}$

Спрощення

Якщо густина незмінна з часом, а контрольний об'єм нерухомий, тобто $\mathbf W = 0,$ тоді можна записати $$\begin{equation}\int_{\mathcal S_e(t)}\rho\mathbf U \cdot \mathbf n\ dA = 0\label{eq:cv_simple}\end{equation}.$$ Рівняння $\ref{eq:cv_simple}$ вимірюється в одиницях $\rho U A,$ тобто $\frac{M}{L^3}\frac{L}{T}L^2 = \frac{M}{T}.$ Ми називаємо це масовою ви́тратою $\dot m = \rho U A.$ У випадку часозалежної поверхні маємо $$\dot m = \int_{\mathcal S_e(t)} \rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot n\ dA.$$

Рівняння імпульсу потоку плину

Тут нам знадобиться закон Ньютона, який ми запишемо в альтернативній формі $$F/V = \frac{d}{dt}(\rho u).$$ На відміну від випадку з рівнянням неперевності наша область одразу буде пакунком плину. Якщо ми використовуємо Ейлерову точку зору, то швидкість зміни вектора імпульсу $\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV.$ Маємо основні два типи сил, які треба врахувати:

• масова сила - $\int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV,$
• поверхнева сила - $\int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA.$

$$\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum}\end{equation}.$$ Не дуже зручно мати в одному рівнянні два типи інтегралів: по поверхні і по об'єму. Також хотілось би використовувати змінні, які звичні інженерних обчислень, тому потрібно виразити об'єм і поверхню через ці змінні. Зауважимо, що масові сили досить прості, тобто зазвичай це лише виштовхувальна сила через гравітаційне прискорення, $\mathbf F_B = \rho \mathbf g.$ Натомість робота з поверхневими силами вимагає певних серйозних зусиль, тому спочатку ми спростимо рівняння внесенням диференціювання під знак інтеграла. Для цього ми використаємо транспортну теорему Рейнольдса. $$\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho u}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\rho u \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.$$ Знов використаємо формулу Остроградського-Гауса, щоб отримати інтеграл по об'єму праворуч, під знаком інтегралу маємо $$\frac{\partial \rho u}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u \mathbf U) = \frac{\partial \rho u}{\partial t} + \mathbf U \cdot \nabla (\rho u) + \rho u \nabla \cdot \mathbf U.$$ Тому що ми маємо справу з нестисним потоком, ми можемо використати $\ref{eq:incompres_uvw}$ $$\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho\mathbf U \cdot \nabla u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{D u}{D t}\ dV \label{eq:for_momentum_under_int}\end{equation},$$ де $u$ - це $x-$компонент швидкості. Перезапишемо $\ref{eq:momentum}$ використавши $\ref{eq:for_momentum_under_int}$: $$\begin{equation}\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum_under_int}\end{equation}.$$

Ну що ж, нам залишились два кроки: перевести рівняння $\ref{eq:momentum_under_int}$ до диференціальної форми і розібратись із поверхневими силами. Зауважимо, що $\mathbf F_S$ - це вектор і це говорить, що має існувати матриця $\Lambda,$ така що $\mathbf F_S = \mathbf{\Lambda} \cdot \mathbf n.$ З того, що $\mathbf n$ - це чисто геометрична величина, нормаль до поверхні, то фізична сутність поверхневих сил мусить зберігатись в матриці $\mathbf{\Lambda}.$

Тепер ми готові записати базову форму диференціального рівняння імпульсу: $$\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf{\Lambda}\cdot\mathbf n\ dA,$$ Тому що $\mathcal R(t)$ - це довільний елемент плину і, отже, ми можемо обрати його як завгодно малим, то підінтегральний вираз також дорівнює нулю: $$\begin{equation}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt} - \mathbf F_B - \nabla\cdot\mathbf{\Lambda} = 0\label{eq:momentum_dif_form}\end{equation}.$$ Це дуже загальний баланс імпульсу, що виконується для всіх точок будь-якого потоку плину (в межах гіпотези неперервності).

Трактування поверхневих сил

Поверхневе напруження складніша величина. Причиною цьому є те, що ми не можемо говорити про напруження в точці не визначивши поверхню на яку це напруження діє. $$\Lambda = \begin{bmatrix} -p + \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & -p + \tau_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & -p + \tau_{zz} \\ \end{bmatrix} = -p\mathbf I + \mathbf\tau.$$ $\mathbf\tau$ відомий як в'язкісний тензор напружень.

Рівняння Нав'є-Стокса

$$ \begin{align*} \nabla\cdot\Lambda &= \big(-\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\big)\mathbf e_1 +\\ &= \big(-\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}\big)\mathbf e_2 +\\ &= \big(-\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}\big)\mathbf e_3. \end{align*} $$ Тепер ми можемо переписати $\ref{eq:momentum_dif_form}$ у вигляді $$\begin{equation}\rho\frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + F_{B,x}\label{eq:momentum_df_tau}\end{equation}$$ Згадаємо багатовимірний закон в'язкості Ньютона, який надає такі формули для компонентів напруження в'язкості: $$\tau_{xx} = 2\mu u_x, \tau_yx = \mu(u_y+v_x), \tau_zx = \mu=\mu(u_z+w_x).$$ Підставляючи це у другий, третій і четвертий доданки $\ref{eq:momentum_df_tau}$ маємо $$2\mu u_{xx}+\mu(u_y+v_x)_y+\mu(u_z+w_x)_z.$$ Ми можемо переформатувати це так: $$\mu (u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) + \mu (u_x + v_y + w_z)_x,$$ але ми маємо справу з нестисним потоком, тому згідно з $\ref{eq:incompres_uvw}$ дивергенція вектора швидкості дорівнює нулю і залишається лише перший доданок. $$\rho\frac{Du}{Dt}=-p_x+\mu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+F_{B,x}.$$ Зазвичай це рівняння ділять на $\rho$ і представляти його як $$u_t + uu_x+vu_y+wu_z = -\frac{1}{\rho}p_x+\nu\Delta u+\frac{1}{\rho}F_{B,x}.$$ Тут, $\nu$ - це кінематична в'язкість.

Рівняння для всіх трьох координат називаються рівняннями Нав'є-Стокса, і вони надають опис в кожній точці для по суті будь-якого нестисного потоку.

Аналіз рівнянь Нав'є-Стокса

$$\overbrace{\underbrace{u_t}_{\substack{локальне \\ прискорення}} + \underbrace{uu_x+vu_y+wu_z}_{\substack{конвекційне\\ прискорення}}}^{повне\ прискорення} = \overbrace{-\frac{1}{\rho}p_x}^{сили\ тиску}+ \overbrace{\nu\Delta u}^{сили\ в'язкості}+ \overbrace{\frac{1}{\rho}F_{B,x}}^{масові\ сили}.$$ Доданки ліворуч в контексті рівнянь Н.-С. часто називають інерційними.

Сили в'язкості

$$\nu\Delta u = \nu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}).$$ Загалом, доданки у вигляді другої похідної у диференційному рівнянні зазвичай пов'язують із дифузією, і в в обох фізичному і математичному контекстах представляють розмазування, згладжування або змішування.

Ех, зібратись би колись і закінчити це

Примітки

• 1^↩Stephen Whitaker. Fundamental Principles of Heat Transfer, стор. 197

Дещо з початку теорії груп

Деякі позначення:

• $GL_n(\mathbb{R})$ (загальна лінійна група) - група матриць $n\times n$ на полі дійсних чисел
• $SL_n(\mathbb{R})$ (спеціальна лінійна група) - група матриць $n\times n$ на полі дійсних чисел визначники яких дорівнюють 1
• $\mathbb{Z}_n = \{0, \dots, n - 1\}$
• $\mathbb{Z}^*_n$ - група оборотних елементів у $\mathbb{Z}_n$
• $C_2, \mathbb{Z}_2$ - циклічні групи із множенням і додаванням відповідно.

Визначення. Група - це непорожня множина $G$ на якій задана бінарна операція $(a, b) \mapsto ab$, така що

• якщо $a, b \in G$, тоді $ab \in G$,
• $a(bc)=(ab)c$ для всіх $a, b, c \in G$,
• існує елемент $1 \in G$, такий що $a1 = 1a = a$ для всіх $a \in G$,
• якщо $a \in G$, тоді існує елемент $a^{-1}\in G$, такий що $aa^{-1}=a^{-1}a=1$.

Твердження. Нехай $G$ - група і $H$ - це непорожня її підмножина. Тоді такі твердження тотожні:

1. $H$ є підгрупою $G$.
2. • $x, y \in H$ означає, що $xy \in H$ для всіх $x, y$
   • $x \in H$ означає, що $x^{-1} \in H$.
3. $x,y\in H$ означає, що $xy^{-1} \in H$ для всіх $x, y$.

Визначення. Індексом підгрупи $H$ в $G$ є число її правих (лівих) класів суміжності. І позначається як $[G:H]$.

Визначення. Нехай $G$ це група і $H \le G$. Ми кажемо, що $H$ це нормальна підгрупа $G$ якщо $$cHc^{-1} = H, \forall c \in G.$$

Згадаймо, що якщо $f:G\to H$ це гомоморфізм груп, то ядро $f$ визначено як $$Ker(f) = \{a\in G, g(a) = 1\}.$$ Ядро гомоморфізму вимірює степінь неін'єктивності гомоморфізму.

Твердження. Кожна нормальна підгрупа є ядром гомоморфізму. Гомоморфізм ін'єктивний якщо його ядро містить саме один елемент.

Термінологія

• мономорфізм = ін'єктивний гомоморфізм
• епіморфізм = сюр'єктивний гомоморфізм
• ізоморфізм = бієктивний гомоморфізм
• ендоморфізм = гомоморфізм групи на себе
• автоморфізм = ізоморфізм групи із собою

Теореми про ізоморфізми

Теорема. (1 теорема про ізоморфізми). Якщо $f:G \to H$ це гомоморфізм з ядром $K$, тоді область значень $f$ ізоморфна $G/K$: $$Im(f)\simeq G/Ker(f).$$

Теорема. (2 теорема про ізоморфізми). Якщо $H, G$ це підгрупи $G$, а $N$ нормальна в $G$, тоді $$H/(H\cap N) \simeq HN/N.$$

Теорема. (3 теорема про ізоморфізми). Якщо $N, H$ це нормальні підгрупи $G$, і $N \subseteq H$, тоді $$G/H \simeq (G/N)(H/N).$$

Якщо $G$ містить нормальні підгрупи $H$ і $K$, такі що $G = HK$ і $H\cap K= \{1\}$, ми кажемо, що $G$ це внутрішній прямий добуток $H$ і $K$.

Якщо $G$ містить нормальні групи $H_1, \ldots, H_n$, так що $G = H_1\cdots H_n$ і кожне $g$ можна єдиним чином представити як $h_1\cdots h_n$, ми кажемо, що $G$ це внутрішній прямий добуток $H_i.$

Перетворення Лоренца

Постулати теорії відносності

1. Всі інерційні спостерігачі тотожні щодо всіх природних явищ.
2. Швидкість світла незалежна від стану руху джерела чи спостерігача.

В певний момент ми мали, що $x = t = 0, x' = t' = 0.$

\begin{equation} \begin{cases} x' = (x - ut)\gamma \\ x = (x' + ut')\gamma \\ \end{cases} \end{equation}

Припустимо, що в момент часу коли наші позиції спостерігачів збігались, вони випустили спалах світла. Детектор світла виявив цю подію в $(x, t) = S$ або $(x', t') = S'.$

Для нас важливе відношення між $x'$ та $t'$, це є $x' = ct'$, але також $x = ct.$ Звідси ми можемо знайти множник $\gamma.$

\begin{align} xx' &= \gamma^2(xx'+uxt'-ux't-utt') \nonumber \\ 1 &= \gamma^2(1+u\frac{t'}{x'}-x\frac{t}{x}-u\frac{t'}{x'}\frac{t}{x}) \nonumber \\ 1 &= \gamma^2(1-\frac{u}{c^2}) \nonumber \\ \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align} тут ми використали те, що $x' = ct'$ і $x = ct.$ Далі ми отримуємо \begin{equation} \boxed{x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \ \ \ t' = \frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}} \end{equation} Це перетворення називається перетворенням Лоренца.

Диференціювання матриць

Нехай $ \mathbf{y} = \psi(\mathbf{x}), $ де $\mathbf{y}$ - це m-елементний вектор, а $\mathbf{x}$ - це n-елементний вектор. Тоді символ $$ \begin{equation} \frac{\delta\mathbf{y}}{\delta\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\delta y_1}{\delta x_1} & \frac{\delta y_1}{\delta x_2} & \dots & \frac{\delta y_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta y_1}{\delta x_1} & \frac{\delta y_1}{\delta x_2} & \dots & \frac{\delta y_1}{\delta x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\delta y_1}{\delta x_1} & \frac{\delta y_1}{\delta x_2} & \dots & \frac{\delta y_1}{\delta x_n} \\ \end{bmatrix} \end{equation} $$ позначатиме $m\times n$ матрицю часткових перших похідних перетворення з $\mathbf{x}$ у $\mathbf{y}$. Таку матрицю називають Якобіаном перетворення $\psi()$.

Пропозиція 1

Нехай $$\begin{equation}\mathbf{y} = \mathbf{Ax}\end{equation}$$ де $\mathbf{y}$ - це $m\times 1$, $\mathbf{x}$ - це $n\times 1$, $\mathbf{A}$ - це $m\times n$, і $\mathbf{A}$ не залежить від $\mathbf{x}$, тоді $$\begin{equation}\frac{\delta\mathbf{y}}{\delta\mathbf{x}} = \mathbf{A}\end{equation}$$

Пропозиція 2

Нехай $$\begin{equation}\mathbf{y} = \mathbf{Ax}\end{equation}$$ де $\mathbf{y}$ - це $m\times 1$, $\mathbf{x}$ - це $n\times 1$, $\mathbf{A}$ - це $m\times n$, і $\mathbf{A}$ не залежить від $\mathbf{x}$. Припустимо, що $\mathbf{x}$ є функцією від вектора $\mathbf{z}$, якщо $\mathbf{A}$ незалежна від $\mathbf{z}$, тоді $$\begin{equation}\frac{\delta\mathbf{y}}{\delta\mathbf{x}} = \mathbf{A}\frac{\delta\mathbf{x}}{\delta\mathbf{z}}\end{equation}$$

Пропозиція 3

Нехай скаляр $\alpha$ визначено як $$\begin{equation}\alpha = \mathbf{y}^T\mathbf{Ax}\end{equation}$$ де $\mathbf{y}$ - це $m\times 1$, $\mathbf{x}$ - це $n\times 1$, $\mathbf{A}$ - це $m\times n$, і $\mathbf{A}$ не залежить від $\mathbf{x}$ і $\mathbf{y}$, тоді $$\begin{equation}\frac{\delta\alpha}{\delta\mathbf{x}} = \mathbf{y}^T\mathbf{A}\end{equation}$$ і $$\begin{equation}\frac{\delta\alpha}{\delta\mathbf{y}} = \mathbf{x}^T\mathbf{A}^T\end{equation}$$

Пропозиція 4

Якщо скаляр $\alpha$ визначено через квадратичну форму $$\begin{equation}\alpha = \mathbf{x}^T\mathbf{Ax}\end{equation}$$ де $\mathbf{x}$ - це $n\times 1$, $\mathbf{A}$ - це $n\times n$, і $\mathbf{A}$ не залежить від $\mathbf{x}$, тоді $$\begin{equation}\frac{\delta\alpha}{\delta\mathbf{x}} = \mathbf{x}^T(\mathbf{A}+\mathbf{A}^T)\end{equation}$$

Пропозиція 5

Якщо $\mathbf{A}$ - симетрична і $$\begin{equation}\alpha = \mathbf{x}^T\mathbf{Ax}\end{equation}$$ де $\mathbf{x}$ - це $n\times 1$, $\mathbf{A}$ - це $n\times n$, і $\mathbf{A}$ не залежить від $\mathbf{x}$, тоді $$\begin{equation}\frac{\delta\alpha}{\delta\mathbf{x}} = 2\mathbf{x}^T(\mathbf{A})\end{equation}$$

Тензор інерції

У цьому дописі ми отримаємо вираз для моменту імпульсу твердого 3D тіла. Ми побачимо, що це впровадить концепцію тензора інерції.

• Момент імпульсу
• Тензор інерції
• Головні осі інерції
• Пошук головних осей і моментів інерції як задача власних значень
• Теорема паралельних осей
• Обертання осей

Момент імпульсу

Почнемо з виразу для моменту імпульсу системи частинок щодо її центру мас, $\boldsymbol{H}_G,$ $$\begin{equation}\boldsymbol{H}_G = \sum_{i=1}^n(\boldsymbol{r}'_i\times m_i(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}'_i))=\sum_{i=1}^n m_i {r'}_i^2\boldsymbol{\omega}\end{equation}$$ $$\begin{equation}\boldsymbol{H}_G = \sum_{i=1}^n(\boldsymbol{r}'_i\times m_i(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}'_i))=\sum_{i=1}^n m_i {r'}_i^2\boldsymbol{\omega}=\int_m\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{v}'dm\end{equation}$$ $$\boldsymbol{H}_G = \int_m\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{v}'dm$$

Тут, $\boldsymbol{r}'$ - це вектор позиції відносно центру мас, $\boldsymbol{v}'$ - це вектор швидкості відносно центру мас. Ми використовуємо інтеграл замість суми оскільки ми маємо справу із неперервним розподілом маси.

Для тривимірного твердого тіла, відстані між будь-якими двома частинками залишаються незмінними, а швидкість частинки відносно центру мас становить $$\boldsymbol{v}' = \omega \times \boldsymbol{r}'.$$

Отже маємо $$\boldsymbol{H}_G = \int_m\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{v}'dm = \int_m [(\boldsymbol{r}'\cdot \boldsymbol{r}') \cdot \boldsymbol{\omega} - (\boldsymbol{r}'\cdot \boldsymbol{\omega}) \cdot \boldsymbol{r}'] dm.$$

Тут ми використали векторну тотожність $\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})\boldsymbol{B} -$$ (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}.$ Зауважимо, що для планарних тіл, які рухаються у власній площині, $\boldsymbol{r}'$ завжди перпендикулярний до $\boldsymbol{\omega},$ отже, $\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{\omega}$ є нулем. У цьому випадку вектори $\boldsymbol{\omega}$ та $\boldsymbol{H}_G$ завжди паралельні. У випадку тривимірного тіла таке спрощення не проходить, у висліді вектори $\boldsymbol{\omega}$ та $\boldsymbol{H}_G$ зазвичай не паралельні.

У декартових координатах $\boldsymbol{r}' = x'\boldsymbol{i} + y'\boldsymbol{j} + z'\boldsymbol{k}$ і $\boldsymbol{\omega} = \omega_x\boldsymbol{i} + \omega_y\boldsymbol{j} + \omega_z\boldsymbol{k}.$

\begin{align} \boldsymbol{H}_G &= \Big( \omega_x \int_m ({x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2)\ dm - \int_m (x'\omega_x + y'\omega_y + z'\omega_z) x'\ dm \Big)\ \boldsymbol{i} \nonumber \\ &+ \Big( \omega_y \int_m ({x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2)\ dm - \int_m (x'\omega_x + y'\omega_y + z'\omega_z) y'\ dm \Big)\ \boldsymbol{j} \nonumber \\ &+ \Big( \omega_z \int_m ({x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2)\ dm - \int_m (x'\omega_x + y'\omega_y + z'\omega_z) z'\ dm \Big)\ \boldsymbol{k} \nonumber \\ & \nonumber \\ &= (\hphantom{-} I_{xx} \omega_x - I_{xy} \omega_y - I_{xz} \omega_z)\ \boldsymbol{i} \nonumber \\ &+ (- I_{yx} \omega_x + I_{yy} \omega_y - I_{yz} \omega_z)\ \boldsymbol{j} \nonumber \\ &+ (- I_{zx} \omega_x - I_{zy} \omega_y + I_{zz} \omega_z)\ \boldsymbol{k}. \\ \end{align}

Величини $I_{xx}, I_{yy}$ та $I_{zz}$ звуться моментами інерції щодо осей $x, y$ і $z$ відповідно і задаються через,

$$ I_{xx} = \int_m ({y'}^2 + {z'}^2) dm, I_{yy} = \int_m ({x'}^2 + {z'}^2) dm, I_{zz} = \int_m ({x'}^2 + {y'}^2) dm. $$

Вони аналогічні моменту інерції у двовимірному випадку. Очевидно, що їхні значення додатні. Величини $I_{xy}, I_{xz}, I_{yx}, I_{yz}, I_{zx}$ і $I_{zy}$ звуться добутками інерції. Вони можуть бути додатними, від'ємними або нульовими і задаються через,

$$ I_{xy} = I_{yx} = \int_m x'y' dm, \ \ I_{xz} = I_{zx} = \int_m x'z' dm, \ \ I_{yz} = I_{zy} = \int_m y'z' dm.$$ Вони вимірюють незбалансованість у розподілі маси. Якщо нам потрібно обчислити момент імпульсу щодо точки $O$ тоді, вираз буде, \begin{align} \boldsymbol{H}_G &= (\hphantom{-} (I_{xx})_O\ \omega_x - (I_{xy})_O\ \omega_y - (I_{xz})_O\ \omega_z)\ \boldsymbol{i} \nonumber \\ &+ (- (I_{yx})_O\ \omega_x + (I_{yy})_O\ \omega_y - (I_{yz})_O\ \omega_z)\ \boldsymbol{j} \nonumber \\ &+ (- (I_{zx})_O\ \omega_x - (I_{zy})_O\ \omega_y + (I_{zz})_O\ \omega_z)\ \boldsymbol{k}. \\ \end{align}

Вираз аналогічний попередньому, лише $x', y'$ і $z'$ замінені на $x, y$ і $z.$

Тензор інерції

Вираз для моменту імпульсу заданий формулою (3) можна записати в матричній формі як,

\begin{equation} \begin{pmatrix} H_{Gx} \\ H_{Gy} \\ H_{Gz} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \\ \end{pmatrix} \end{equation} або \begin{equation} \boldsymbol{H}_G = [I_G] \boldsymbol{\omega}, \end{equation}

де $[I_G]$ - це тензор інерції (записаний у матричній формі) відносно центру мас $G$ і щодо $xyz$ осей. Тензор інерції дає нам розуміння того, як маса розподілена у твердому тілі.

З визначення випливає, що тензор інерції завжди симетричний. Наслідком рівняння (5) є те, що навіть коли тіло має деяку симетрію, вектори моменту імпульсу $\vec{H}$ і кутової швидкості $\vec{w}$ не паралельні. Це значно ускладнює аналіз динаміки тіл, що обертаються у трьох вимірах.

Головні осі інерції

Для тривимірного тіла завжди можливо знайти 3 взаємно ортогональні осі ($x, y, z$ координатна система) для яких добутки інерції нульові, і матриця інерції набуває діагональної форми. У більшості задач, це буде найбажаніша система в якій варто формулювати задачу. При обертані щодо лише однієї з цих осей, вектор моменту імпульсу паралельний вектору кутової швидкості. Для симетричних тіл може бути очевидним які осі є головними. Однак, для тіл неправильної форми може бути складно визначити цю систему координат з простого огляду; ми наведемо загальний метод для визначення цих осей у наступному розділі.

Але якщо тіло має симетрії щодо деяких осей, тоді деякі добутки інерції можуть стати нульовими і тоді ми можемо розпізнати головні осі. Наприклад, якщо тіло є симетричним щодо площини $x' = 0$ тоді, ми матимемо $I_{x'y'} = I_{y'x'} = I_{x'z'} = I_{z'x'} = 0$ і $x'$ буде головною віссю. Це можна побачити з визначення добутків інерції.

Інтеграл для, припустимо, $I_{x'y'}$ можна розкласти на два інтеграли для кожної з половинок тіла по обидва боки від площини $x' = 0.$ Інтегрований вираз, $x'y'$ на одній половині дорівнюватиме по величині і матиме протилежний знак із інтегрованим виразом з другої половини (оскільки $x'$ матиме інший знак). Отже, інтеграли по двох половинах скоротяться і добуток інерції $I_{x'y'}$ буде нулем. (Так само як і $I_{x'z'}$)

Також, якщо тіло є симетричним щодо двох площин, які проходять через центр мас, перпендикулярних до координатних осей, тоді тензор інерції діагональний із $I_{x'y'} = I_{x'z'} = I_{y'z'} = 0.$

Інший випадок з практичним значенням спостерігаємо коли ми розглядаємо осесиметричне тіло обертання. У цьому випадку якщо одна з осей збігається з віссю симетрії, тензор інерції має просту діагональну форму. Для осесиметричного тіла моменти інерції щодо будь-яких осей у площині перпендикулярній до осі симетрії будуть однаковими. І отже будь-яка вісь у цій площині є головною. Також можна показати, що якщо момент інерції однаковий щодо двох осей у площині, незалежно від того перпендикулярні вони чи ні, тоді всі осі у площині є головними осями і момент інерції однаковий для всіх осей. За своїми інерційними властивостями тіло поводиться як круговий циліндр.

Тензор інерції набуватиме різних форм залежно від обраних осей. Коли осі такі, що тензор інерції діагональний, то такі осі називаються головними осями інерції.

Пошук головних осей і моментів інерції як задача власних значень

Три перпендикулярні головні осі інерції завжди існують хоча якщо тіло без симетрій їх напрямки можуть бути не очевидними. Щоб знайти головні осі інерції тіла розглянемо тіло накреслене на зображенні, яку обертається відносно невідомої головної осі. Вектор кутового моменту, $I\vec{\omega},$ у напрямку головної осі. Для обертання відносно головної осі, кутовий момент і кутова швидкість мають той самий напрямок.

Ми шукаємо координатні осі $x, y$ і $z,$ відносно яких обертання буде паралельне до напрямку кутового моменту і вони будуть пов'язані таким рівнянням

\begin{equation} \begin{pmatrix}H_{Gx}\\H_{Gy}\\H_{Gz}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I\omega_x\\I\omega_y\\I\omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I&0&0\\ 0&I&0\\ 0&0&I\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Ми можемо виразити загальну форму вектора кутового моменту по складовим уздовж осей $x, y$ і $z$ в термінах складових $\vec{\omega}$ уздовж цих осей, використовуючи загальну форму тензора інерції в системі $x,y, z,$ маємо

\begin{equation} \begin{pmatrix}H_{Gx}\\H_{Gy}\\H_{Gz}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Щоб отримати особливі розв'язки $\omega,$ які вирівняні по головних осях, ми прирівнюємо ці два вирази.

\begin{equation} \begin{pmatrix}H_{Gx}\\H_{Gy}\\H_{Gz}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I\omega_x\\I\omega_y\\I\omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I&0&0\\ 0&I&0\\ 0&0&I\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

На цей момент ми знаємо тензор інерції у довільній $x, y$ і $z$ системі і шукаємо особливі орієнтації $\omega$ такі, щоб спрямувати момент імпульсу разом $H_G$ із кутовою швидкістю $\omega.$ Перефразовуючи рівняння (9) маємо

\begin{equation} \begin{pmatrix} (I_{xx}-I) & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & (I_{yy}-I) & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & (I_{zz}-I) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Тобто

\begin{equation} \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} - I \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Таким чином, знаходження головних осей інерції зводиться до задачі власних значень. Три власні вектори дають напрямки трьох головних осей, а три власні значення - моменти інерції щодо кожної з цих осей.

У головних осях тензор інерції має таку форму

\begin{equation} [I_G] = \begin{pmatrix} I_x&0&0\\ 0&I_y&0\\ 0&0&I_z\\ \end{pmatrix} \end{equation}

де ми позначаємо $I_x = I_{xx}, I_y = I_{yy}$ і $I_z = I_{zz}.$ Також, у головних осях ми писатимемо

$$\boldsymbol{H}_G = I_x \omega_x \boldsymbol{i} + I_y \omega_y \boldsymbol{j} + I_z \omega_z \boldsymbol{k}.$$

Теорема паралельних осей (Теорема Гюйгенса — Штейнера)

Часто досить легко отримати тензор інерції відносно осей, що проходять через центр мас. Іноді нам необхідно обчислити тензор інерції відносно інших осей.

Ми можемо записати,

\begin{align*} (I_{xx})_O & = \int_m (y^2 + z^2)dm = \int_m ((y_G+y')^2+(z_G+z')^2)dm \\ & = \int_m(y'^2+z'^2)dm + 2y_G\int_m y' dm + 2z_G \int_m z'dm +(y_G^2 + z_G^2)\int_m dm \\ & = I_{xx} + m(y_G^2 + z_G^2). \\ \end{align*}

Тут ми використали факт того, що $y'$ і $z'$ - це координати відносно центру мас і, отже, їх інтеграл по всьому тілу дорівнює нулю. Аналогічно маємо,

$$(I_{yy})_O = I_{yy} + m(x_G^2+z_G^2),\ \ (I_{zz})_O = I_{zz} + m(x_G^2+y_G^2),$$

і

$$(I_{xy})_O = (I_{yx})_O = I_{xy} + m x_G y_G,$$ $$(I_{xz})_O = (I_{zx})_O = I_{xz} + m x_G z_G,$$ $$(I_{yz})_O = (I_{zy})_O = I_{yz} + m y_G z_G.$$

Обертання осей

Іноді ми знатимемо тензор інерції щодо деяких осей $xyz$ і, ми захочемо обчислити тензор інерції щодо інших осей $x'y'z'.$ Позначимо через $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ і $\boldsymbol{k}$ одиничні вектори уздовж осей $xyz$, і через $\boldsymbol{i'}, \boldsymbol{j'}$ і $\boldsymbol{k'}$ одиничні вектори уздовж осей $x'y'z'.$ Перетворення тензора інерції можна здійснити через беручи до уваги перетворення вектора моменту імпульсу $\vec{H}$ і вектора кутової швидкості $\vec{\omega}.$ Почнемо з вираження $\vec{H}$ і $\vec{\omega} у $xyz$ системі.

\begin{equation} \vec{H} = [I]\vec{\omega} \end{equation}

Ми не зазначили із допомогою індексу де є місцеположення початку координат, тобто центр мас $G,$ фіксована точка $O$ або будь-яка інша точка, тому що допоки ми виконуємо лише обертальне перетворення координат щодо цієї точки, це не має значення. Матриця переходу $[T]$ від $xyz$ до $x'y'z'$ складається з добутку двох матриць переходу, з $xyz$ до стандартного базису і зі стандартного базису до $x'y'z',$

$$T = \begin{pmatrix} i'_{x'} & i'_{y'} & i'_{z'} \\ j'_{x'} & j'_{y'} & j'_{z'} \\ k'_{x'} & k'_{y'} & k'_{z'} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{x} & j_{x} & k_{x} \\ i_{y} & j_{y} & k_{y} \\ i_{z} & j_{z} & k_{z} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} H'_1 \\ H'_2 \\ H'_3 \\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} H_1 \\ H_2 \\ H_3 \\ \end{pmatrix}. $$

Так само, перетворення для $\vec{\omega}$ у систему $x'y'z'$ задається через

$$ \begin{pmatrix} \omega'_1 \\ \omega'_2 \\ \omega'_3 \\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \\ \end{pmatrix}. $$

Щоб визначити $\vec{H}'$ (у трансформованій системі) ми множимо обидва боки рівняння (12) на $T,$ і отримуємо

\begin{equation} \vec{H}' = [T] \vec{H} = [T] [I] \vec{\omega} \end{equation}

де $[I]$ - це тензор інерції в початковій системі координат. Але це рівняння не зовсім у правильній формі, нам потрібно $\vec{H}' = [I']\vec{\omega}',$ щоб визначити $[I'],$ тензор інерції у новій координатній системі. Скористаємось тим, що матриця $[T]^T$ також є оберненою для $T$, тоді $[T]^T[T] = [Identity].$ Тепер, ми завжди можемо вставити одиничну матрицю у рівняння наче домножаючи на 1, отже можна записати

\begin{equation} (\vec{H}') = [T]\vec{H} = [T][I][T]^T[T]\vec{\omega} = ([T][I][T]^T)([T]\vec{\omega}) = [I']\omega' \end{equation}

ми згрупували множники таким чином, щоб було очевидно, що тензор інерції у новій системі координат дорівнює

\begin{equation} [I'] = [T][I][T]^T \end{equation}

Отже, якщо ми хочемо обчислити тензор інерції відносно осей $x'y'z',$ ми можемо записати матрицю у формі

$$ \begin{pmatrix} I_{x'x'} & -I_{x'y'} & -I_{x'z'} \\ -I_{y'x'} & I_{y'y'} & -I_{y'z'} \\ -I_{z'x'} & -I_{z'y'} & I_{z'z'} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{k} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{k} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \end{pmatrix}, $$

Подібним чином, можна записати із використання косинусів кутів між початковими і новими осями, адже, наприклад, $\boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} = \cos(\theta_{xx'}).$

Зв'язок між роботою і енергією у випадку системи частинок

$$W_{12} = \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i\cdot d\underline{r}_i = \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\underline{p}_i\cdot \underline{v}_i dt = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^n\frac{d}{dt} \big[\frac{1}{2}m_i(\underline{v}_i\cdot\underline{v}_i)\big]dt = T_2-T_1$$ де: $$T = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_i(\underline{v}_i\cdot\underline{v}_i)$$ $$\begin{align*} W_{12} & = \sum_{i=1}^n (W_{12})_i = \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i\cdot d\underline{r}_i \\ &= \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{int}\cdot d\underline{r}_i + \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{ext}\cdot d\underline{r}_i \end{align*} $$

$\sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{int}\cdot d\underline{r}_i = W_{12}^{int}$

$\sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{ext}\cdot d\underline{r}_i = W_{12}^{ext}$

$$ \begin{align*} W_{12}^{int} &= \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \underline{F}_i^{int}\cdot \underline{v}_i dt \\ &= \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^n \underline{f}_{ij}\cdot\underline{v}_i dt \\ &= \int_{t1}^{t2}\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}^n(\underline{f}_{ij}\cdot\underline{v}_i + \underline{f}_{ji}\cdot\underline{v}_j) dt \\ &= \int_{t1}^{t2}\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}^n\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j)dt \end{align*} $$ В загальному випадку це не дорівнює нулю.

Відносна швидкість може мати складову у напрямку $\underline{f}_{ij}.$ На зображенні дві випадкові точки із випадковими векторами швидкостей. Якщо вектор відносної швидкісті не нульовий чи перпендикулярний до напрямку сили, то $\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j)$ не дорівнюватиме нулю, бо існуватиме складова у напрямку сили.

Якщо частинки є складовими твердого тіла, тоді не складової у напрямку сили не буде.

Дві точкові маси поєднані стрижнем. Це приклад твердого тіла, тут немає відносного руху двох точкових мас.

$$\frac{d}{dt}|\underline{r}_i-\underline{r}_j|^2 = 0$$ $$\frac{d}{dt}\big[(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\cdot(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\big] = 0$$ $$2(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j) = 0$$ Внутрішні сили $\underline{f}_{ij}$ уздовж напрямку $(\underline{r}_i-\underline{r}_j).$ Отже, для твердого тіла ми довели: $$\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j) = 0.$$ З цього випливає, що $W_{12}^{int}$ дорівнює 0. Тому, $$\boxed{W_{12}^{ext} = T_2 - T_1}$$ Якщо всі зовнішні сили є консервативними або не виконують роботи і $W_{12}^{int} = 0,$ тоді $$W_{12} = W_{12}^{ext} = V_1^{ext} - V_2^{ext}$$ де $V^{ext} = \sum_{i=1}^n V_i^{ext}.$ $$\boxed{T_1+V_1^{ext} = T_2+V_2^{ext}}$$