W_{12} = \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i\cdot d\underline{r}_i = \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\underline{p}_i\cdot \underline{v}_i dt = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^n\frac{d}{dt} \big[\frac{1}{2}m_i(\underline{v}_i\cdot\underline{v}_i)\big]dt = T_2-T_1
де:
T = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_i(\underline{v}_i\cdot\underline{v}_i)
\begin{align*}
W_{12} & = \sum_{i=1}^n (W_{12})_i = \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i\cdot d\underline{r}_i \\
&= \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{int}\cdot d\underline{r}_i + \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{ext}\cdot d\underline{r}_i
\end{align*}
\sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{int}\cdot d\underline{r}_i = W_{12}^{int}
\sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{ext}\cdot d\underline{r}_i = W_{12}^{ext}
\begin{align*}
W_{12}^{int} &= \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \underline{F}_i^{int}\cdot \underline{v}_i dt \\
&= \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^n \underline{f}_{ij}\cdot\underline{v}_i dt \\
&= \int_{t1}^{t2}\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}^n(\underline{f}_{ij}\cdot\underline{v}_i + \underline{f}_{ji}\cdot\underline{v}_j) dt \\
&= \int_{t1}^{t2}\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}^n\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j)dt
\end{align*}
В загальному випадку це не дорівнює нулю.
|
|
Відносна швидкість може мати складову у напрямку \underline{f}_{ij}.
На зображенні дві випадкові точки із випадковими векторами швидкостей. Якщо вектор відносної швидкісті не нульовий чи перпендикулярний до напрямку сили, то \underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j) не дорівнюватиме нулю, бо існуватиме складова у напрямку сили.
|
Якщо частинки є складовими твердого тіла, тоді не складової у напрямку сили не буде.
|
|
Дві точкові маси поєднані стрижнем. Це приклад твердого тіла, тут немає відносного руху двох точкових мас.
|
\frac{d}{dt}|\underline{r}_i-\underline{r}_j|^2 = 0
\frac{d}{dt}\big[(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\cdot(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\big] = 0
2(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j) = 0
Внутрішні сили
\underline{f}_{ij} уздовж напрямку
(\underline{r}_i-\underline{r}_j).
Отже, для твердого тіла ми довели:
\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j) = 0.
З цього випливає, що
W_{12}^{int} дорівнює 0. Тому,
\boxed{W_{12}^{ext} = T_2 - T_1}
Якщо всі зовнішні сили є
консервативними або не виконують роботи і
W_{12}^{int} = 0, тоді
W_{12} = W_{12}^{ext} = V_1^{ext} - V_2^{ext}
де
V^{ext} = \sum_{i=1}^n V_i^{ext}.
\boxed{T_1+V_1^{ext} = T_2+V_2^{ext}}
