По дорозі до Нав'є — Стокса

Загальна транспортна теорема

Нехай $\mathbf F$ буде гладким векторним або скалярним полем в області $\mathcal R(t)$ чиї межі це $\mathcal S(t),$ і нехай $\mathbf W$ буде полем швидкостей часозалежного руху $\mathcal S(t).$ Тоді $$\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf F(x, t)\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F\mathbf W \cdot \mathbf n\ dA.$$

Транспортна теорема Рейнольдса

Нехай $\mathbf\Phi$ буде гладким векторним або скалярним полем, і припустимо, що $\mathcal R(t)$ це пакунок плину з поверхнею $\mathcal S(t),$ що мандрує зі швидкістю потоку $\mathbf U.$ Тоді $$\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf\Phi\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial\mathbf\Phi}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\mathbf\Phi \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.$$

Виведення з Загальної транспортної теореми.

Якщо наша область рухається зі швидкістю потоку, то $\mathbf W = \mathbf U$ і загальна похідна перетворюється на матеріальну.¹

Рівняння неперервності для контрольного об'єму

Почнемо з розглядання фіксованої маси плину $m,$ що міститься в довільній області $\mathcal R(t).$ $$m=\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.$$ $\mathcal R(t), m$ можуть змінюватись з часом, але маса повинна залишатись незмінною. Наприклад, можна розглянути повітряну кульку з теплим повітрям у холодному середовищі. $$\frac{dm}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.$$ Застосувавши загальну транспортну теорему маємо: $$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf W\cdot \mathbf n\ dA = 0.$$ У плинових системах зазвичай зручно вважати, що поле швидкостей $\mathbf W$ було полем швидкостей плину, що відповідає розгляданню на локальному рівні нашої області як пакунок плину. $$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf U\cdot \mathbf n\ dA = 0.$$ Використавши формула Остроградського-Гауса ми позбуваємось двох типів інтегралів залишаючи лише інтеграл по об'єму: $$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.$$ З того, що область $\mathcal R(t)$ було обрана довільно ми можемо вважати, що це діє і для наскільки завгодно малої області (в рамках нашої гіпотези неперервності), тобто інтеграл мусить бути нулем усюди в $\mathcal R(t)$. Якщо це не так ми можемо розділити $\mathcal R(t)$ на дві підобласті додатну і від'ємну і показити цим порушення рівності нулю. Отже, $$\begin{equation}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U=0\label{eq:cont_eq_df}\end{equation}.$$ Це диференціальна форма рівняння неперервності.
Якщо розписати оператор дивергенції, то маємо $$\begin{equation} \rho_t + (\rho u)_t + (\rho v)_t + (\rho w)_t = 0\label{eq:cont_eq_div_decomp}\end{equation}.$$ Тепер можна використати добутку для похідних $$\frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot \mathbf U = 0\label.$$ У випадку нестисного потоку, $\rho -$ стале, маємо $$\begin{equation}u_x + v_y + w_z = 0\label{eq:incompres_uvw}\end{equation}.$$

Аналіз у випадку контрольного об'єму

Оскільки $\ref{eq:cont_eq_df}$ виконується для будь-якого об'єму, то ми можемо записати його і для пакунку плину $$\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.$$ Тепер ми використаємо формулу Остроградського-Гауса в іншому напрямку $$\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)} \rho \mathbf U \cdot \mathbf n = 0.$$ Тепер Загальну транспортну теорему $$\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.$$ Якщо $\mathcal S_e(t)$ - зона входів і виходів через які плин може втікати і витікати, то $$\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S_e(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.$$ Це рівняння називається рівняння неперервності для контрольного об'єму і виражає очевидний факт, що

$\{$

швидкість збільшення маси контрольного об'єму

$\}$

=

$\{$

сумарний потік крізь поверхню

$\}$

Спрощення

Якщо густина незмінна з часом, а контрольний об'єм нерухомий, тобто $\mathbf W = 0,$ тоді можна записати $$\begin{equation}\int_{\mathcal S_e(t)}\rho\mathbf U \cdot \mathbf n\ dA = 0\label{eq:cv_simple}\end{equation}.$$ Рівняння $\ref{eq:cv_simple}$ вимірюється в одиницях $\rho U A,$ тобто $\frac{M}{L^3}\frac{L}{T}L^2 = \frac{M}{T}.$ Ми називаємо це масовою ви́тратою $\dot m = \rho U A.$ У випадку часозалежної поверхні маємо $$\dot m = \int_{\mathcal S_e(t)} \rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot n\ dA.$$

Рівняння імпульсу потоку плину

Тут нам знадобиться закон Ньютона, який ми запишемо в альтернативній формі $$F/V = \frac{d}{dt}(\rho u).$$ На відміну від випадку з рівнянням неперевності наша область одразу буде пакунком плину. Якщо ми використовуємо Ейлерову точку зору, то швидкість зміни вектора імпульсу $\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV.$ Маємо основні два типи сил, які треба врахувати:

• масова сила - $\int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV,$
• поверхнева сила - $\int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA.$

$$\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum}\end{equation}.$$ Не дуже зручно мати в одному рівнянні два типи інтегралів: по поверхні і по об'єму. Також хотілось би використовувати змінні, які звичні інженерних обчислень, тому потрібно виразити об'єм і поверхню через ці змінні. Зауважимо, що масові сили досить прості, тобто зазвичай це лише виштовхувальна сила через гравітаційне прискорення, $\mathbf F_B = \rho \mathbf g.$ Натомість робота з поверхневими силами вимагає певних серйозних зусиль, тому спочатку ми спростимо рівняння внесенням диференціювання під знак інтеграла. Для цього ми використаємо транспортну теорему Рейнольдса. $$\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho u}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\rho u \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.$$ Знов використаємо формулу Остроградського-Гауса, щоб отримати інтеграл по об'єму праворуч, під знаком інтегралу маємо $$\frac{\partial \rho u}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u \mathbf U) = \frac{\partial \rho u}{\partial t} + \mathbf U \cdot \nabla (\rho u) + \rho u \nabla \cdot \mathbf U.$$ Тому що ми маємо справу з нестисним потоком, ми можемо використати $\ref{eq:incompres_uvw}$ $$\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho\mathbf U \cdot \nabla u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{D u}{D t}\ dV \label{eq:for_momentum_under_int}\end{equation},$$ де $u$ - це $x-$компонент швидкості. Перезапишемо $\ref{eq:momentum}$ використавши $\ref{eq:for_momentum_under_int}$: $$\begin{equation}\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum_under_int}\end{equation}.$$

Ну що ж, нам залишились два кроки: перевести рівняння $\ref{eq:momentum_under_int}$ до диференціальної форми і розібратись із поверхневими силами. Зауважимо, що $\mathbf F_S$ - це вектор і це говорить, що має існувати матриця $\Lambda,$ така що $\mathbf F_S = \mathbf{\Lambda} \cdot \mathbf n.$ З того, що $\mathbf n$ - це чисто геометрична величина, нормаль до поверхні, то фізична сутність поверхневих сил мусить зберігатись в матриці $\mathbf{\Lambda}.$

Тепер ми готові записати базову форму диференціального рівняння імпульсу: $$\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf{\Lambda}\cdot\mathbf n\ dA,$$ Тому що $\mathcal R(t)$ - це довільний елемент плину і, отже, ми можемо обрати його як завгодно малим, то підінтегральний вираз також дорівнює нулю: $$\begin{equation}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt} - \mathbf F_B - \nabla\cdot\mathbf{\Lambda} = 0\label{eq:momentum_dif_form}\end{equation}.$$ Це дуже загальний баланс імпульсу, що виконується для всіх точок будь-якого потоку плину (в межах гіпотези неперервності).

Трактування поверхневих сил

Поверхневе напруження складніша величина. Причиною цьому є те, що ми не можемо говорити про напруження в точці не визначивши поверхню на яку це напруження діє. $$\Lambda = \begin{bmatrix} -p + \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & -p + \tau_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & -p + \tau_{zz} \\ \end{bmatrix} = -p\mathbf I + \mathbf\tau.$$ $\mathbf\tau$ відомий як в'язкісний тензор напружень.

Рівняння Нав'є-Стокса

$$\begin{align*} \nabla\cdot\Lambda &= \big(-\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\big)\mathbf e_1 +\\ &= \big(-\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}\big)\mathbf e_2 +\\ &= \big(-\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}\big)\mathbf e_3. \end{align*}$$ Тепер ми можемо переписати $\ref{eq:momentum_dif_form}$ у вигляді $$\begin{equation}\rho\frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + F_{B,x}\label{eq:momentum_df_tau}\end{equation}$$ Згадаємо багатовимірний закон в'язкості Ньютона, який надає такі формули для компонентів напруження в'язкості: $$\tau_{xx} = 2\mu u_x, \tau_yx = \mu(u_y+v_x), \tau_zx = \mu=\mu(u_z+w_x).$$ Підставляючи це у другий, третій і четвертий доданки $\ref{eq:momentum_df_tau}$ маємо $$2\mu u_{xx}+\mu(u_y+v_x)_y+\mu(u_z+w_x)_z.$$ Ми можемо переформатувати це так: $$\mu (u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) + \mu (u_x + v_y + w_z)_x,$$ але ми маємо справу з нестисним потоком, тому згідно з $\ref{eq:incompres_uvw}$ дивергенція вектора швидкості дорівнює нулю і залишається лише перший доданок. $$\rho\frac{Du}{Dt}=-p_x+\mu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+F_{B,x}.$$ Зазвичай це рівняння ділять на $\rho$ і представляти його як $$u_t + uu_x+vu_y+wu_z = -\frac{1}{\rho}p_x+\nu\Delta u+\frac{1}{\rho}F_{B,x}.$$ Тут, $\nu$ - це кінематична в'язкість.

Рівняння для всіх трьох координат називаються рівняннями Нав'є-Стокса, і вони надають опис в кожній точці для по суті будь-якого нестисного потоку.

Аналіз рівнянь Нав'є-Стокса

$$\overbrace{\underbrace{u_t}_{\substack{локальне \\ прискорення}} + \underbrace{uu_x+vu_y+wu_z}_{\substack{конвекційне\\ прискорення}}}^{повне\ прискорення} = \overbrace{-\frac{1}{\rho}p_x}^{сили\ тиску}+ \overbrace{\nu\Delta u}^{сили\ в'язкості}+ \overbrace{\frac{1}{\rho}F_{B,x}}^{масові\ сили}.$$ Доданки ліворуч в контексті рівнянь Н.-С. часто називають інерційними.

Сили в'язкості

$$\nu\Delta u = \nu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}).$$ Загалом, доданки у вигляді другої похідної у диференційному рівнянні зазвичай пов'язують із дифузією, і в в обох фізичному і математичному контекстах представляють розмазування, згладжування або змішування.

Ех, зібратись би колись і закінчити це

Примітки

• 1^↩Stephen Whitaker. Fundamental Principles of Heat Transfer, стор. 197