Зв'язок між роботою і енергією у випадку системи частинок

$$W_{12} = \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i\cdot d\underline{r}_i = \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\underline{p}_i\cdot \underline{v}_i dt = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^n\frac{d}{dt} \big[\frac{1}{2}m_i(\underline{v}_i\cdot\underline{v}_i)\big]dt = T_2-T_1$$ де: $$T = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_i(\underline{v}_i\cdot\underline{v}_i)$$ $$\begin{align*} W_{12} & = \sum_{i=1}^n (W_{12})_i = \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i\cdot d\underline{r}_i \\ &= \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{int}\cdot d\underline{r}_i + \sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{ext}\cdot d\underline{r}_i \end{align*} $$

$\sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{int}\cdot d\underline{r}_i = W_{12}^{int}$

$\sum_{i=1}^n \int_{\underline{r}_{1i}}^{\underline{r}_{2i}} \underline{F}_i^{ext}\cdot d\underline{r}_i = W_{12}^{ext}$

$$ \begin{align*} W_{12}^{int} &= \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \underline{F}_i^{int}\cdot \underline{v}_i dt \\ &= \sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^n \underline{f}_{ij}\cdot\underline{v}_i dt \\ &= \int_{t1}^{t2}\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}^n(\underline{f}_{ij}\cdot\underline{v}_i + \underline{f}_{ji}\cdot\underline{v}_j) dt \\ &= \int_{t1}^{t2}\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}^n\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j)dt \end{align*} $$ В загальному випадку це не дорівнює нулю.

Відносна швидкість може мати складову у напрямку $\underline{f}_{ij}.$ На зображенні дві випадкові точки із випадковими векторами швидкостей. Якщо вектор відносної швидкісті не нульовий чи перпендикулярний до напрямку сили, то $\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j)$ не дорівнюватиме нулю, бо існуватиме складова у напрямку сили.

Якщо частинки є складовими твердого тіла, тоді не складової у напрямку сили не буде.

Дві точкові маси поєднані стрижнем. Це приклад твердого тіла, тут немає відносного руху двох точкових мас.

$$\frac{d}{dt}|\underline{r}_i-\underline{r}_j|^2 = 0$$ $$\frac{d}{dt}\big[(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\cdot(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\big] = 0$$ $$2(\underline{r}_i-\underline{r}_j)\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j) = 0$$ Внутрішні сили $\underline{f}_{ij}$ уздовж напрямку $(\underline{r}_i-\underline{r}_j).$ Отже, для твердого тіла ми довели: $$\underline{f}_{ij}\cdot(\underline{v}_i-\underline{v}_j) = 0.$$ З цього випливає, що $W_{12}^{int}$ дорівнює 0. Тому, $$\boxed{W_{12}^{ext} = T_2 - T_1}$$ Якщо всі зовнішні сили є консервативними або не виконують роботи і $W_{12}^{int} = 0,$ тоді $$W_{12} = W_{12}^{ext} = V_1^{ext} - V_2^{ext}$$ де $V^{ext} = \sum_{i=1}^n V_i^{ext}.$ $$\boxed{T_1+V_1^{ext} = T_2+V_2^{ext}}$$