Векторна тотожність $\vec{u}\times \vec{\omega}=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}.$

У цьому дописі я розгляну векторну тотожність $$\vec{u}\times \vec{\omega}=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}.$$ Почнемо з того, що $\vec\omega = \frac{1}{2}\vec\nabla\times\vec u,$ бо абсолютна величина кутової швидкості дорівнює половині абсолютної величини ротора. Отже, ми можемо переписати $$\vec{u}\times (\vec\nabla\times\vec{u})=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}.$$ Або, скориставшись антикомутативністю векторного добутку: \begin{align} \vec\nabla\times\vec{u}\times\vec{u}=\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}-\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})\label{prepared}. \end{align}

Допоміжні поняття

Тут нам знадобиться поняття символу перестановки: $$ e_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{якщо } i,j,k - \text{це парна перестановка } 1,2,3 \\ -1 & \text{якщо } i,j,k - \text{це непарна перестановка } 1,2,3 \\ 0 & \text{інакше} \end{cases} $$ Розглянемо матрицю $A$ з елементами $a_{ir}$. За допомогою нашого символу ми можемо записати її визначник як \begin{align} \det A &= \frac{1}{3!}e_{ijk}e_{rst}a_{ir}a_{js}a_{kt}\nonumber,\\ \det A &= e_{rst}a_{1r}a_{2s}a_{3t}\label{detordered}. \end{align}

Тепер зауважимо, що \begin{align} e_{ijm}e_{rsm} = e_{1ij}e_{1rs}-e_{i2j}e_{r2s}+e_{ij3}e_{rs3}=e_{ij}e_{rs}\label{deltacancel}. \end{align} І в свою чергу \begin{align} e_{ij}e_{rs} = \delta_{ir}\delta_{js} - \delta_{is}\delta_{jr}, \end{align} де $\delta_{ij} -$ це символ Кронекера.

Доведення

Повернемось до \ref{prepared} і запишемо її у координатному вигляді. Для цього нам потрібно розібратись із $\vec{\nabla}\times\vec u.$ Використовуючи \ref{detordered} ми можемо записати: \begin{align} \vec{\nabla}\times\vec u &= e^{ijk}\vec{e}_i\frac{\partial}{\partial x_j}u_k.\label{curl} \end{align} \begin{align} \vec\nabla\times\vec{u}\times\vec{u} &= e_{lmn}\vec{e}_l(e_{mjk}\frac{\partial}{\partial x_j}u_k)u_n\nonumber\\ &= -\vec{e}_le_{lnm}e_{jkm}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n\nonumber\\ &= -\vec{e}_le_{ln}e_{jk}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n&&\text{скористалися }\ref{deltacancel}\nonumber\\ &= -\vec{e}_l\left(\delta_{lj}\delta_{nk}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n-\delta_{lk}\delta_{nj}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n\right)\nonumber\\ &= -\vec{e}_l\left(\frac{\partial}{\partial x_l}u_ku_k-\frac{\partial}{\partial x_j}u_lu_j\right)\label{proofongoing} \end{align} Тут ми трошки пригальмуємо і роззирнемось. Щоб рухатись далі згадаємо, що таке градієнт вектора: $$\vec\nabla\vec{u} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \vec{e}_i\otimes\vec{e}_j.$$ Тепер нам варто розглянути як в індексному записі ми можемо представити величини, що ми зустріли: \begin{align*} \vec\nabla\vec{u} &= \frac{\partial u_i}{\partial x_j},&& ij\text{-й елемент}\\ \vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u}) &= \frac{1}{2}\vec\nabla\vec{u}_i\vec{u}_i + \frac{1}{2}\vec{u}_i\vec\nabla\vec{u}_i = \frac{\partial u_i}{\partial x_k}u_i, && k\text{-й елемент}\\ \vec{u}\cdot\vec\nabla\vec{u} &= (\vec{u}\cdot\vec\nabla)\vec{u} = u_i\frac{\partial u_k}{\partial x_i} && k\text{-й елемент} \end{align*} Використаємо нові знання про індексні записи у \ref{proofongoing}: \begin{align} \vec\nabla\times\vec{u}\times\vec{u} &= -\vec{e}_l\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_l}u_k-u_j\frac{\partial u_l}{\partial x_j}\right)\nonumber\\ &= -\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u}) + \vec{u}\cdot\vec\nabla\vec{u}\nonumber \end{align} Це і є те, що ми збирались довести. $\square$

Баланс мас у механіці суцільних середовищ

Баланс -- це питання швидкості зміни густини маси. У цьому дописі ми розглянемо рівняння балансу мас у механіці суцільних середовищ. Тут ми припускаємо, що якщо ми відкотимо деформацію, то ми отримаємо ту саму масу.

Розглянемо те як змінюється густина по мірі деформації тіла. Важливим припущенням для нас є те, що у густина -- це неперервна функція, і вона залишається неперервною незалежно від сили деформації, тобто ми не розглядаємо можливого утворення дірок.

Рисунок 1. Перетворення околу точки $\mathbf X,$ який ми позначатимемо $\mathcal N (\mathbf X)$ у окіл точки $\mathbf x$ -- $\mathcal n (\mathbf x).$

Для цього зосередимось на околі точки $\mathbf X$ у початковій конфігурації тіла - $\Omega_0.$ З плином часу цей окіл деформується в окіл точки $\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t).$

Зауважимо, що $\rho_0(\mathbf X) = \lim_{\operatorname{vol}({\mathcal N(\mathbf X))}\to 0}\frac{\operatorname{m}(\mathcal N(\mathbf X))}{\operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))}.$

Тепер розглянемо $$ \begin{align*} \rho(\mathbf x, t) &= \lim_{\operatorname{vol}({\mathcal n(\mathbf x))}\to 0}\frac{\operatorname{m}(\mathcal n(\mathbf x))}{\operatorname{vol}(\mathcal n(\mathbf x))}\\ &=\lim_{\operatorname{vol}({\mathcal N(\mathbf x))}\to 0}\frac{\operatorname{m}(\mathcal n(\mathbf x))}{\operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))}\frac{\operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))}{\operatorname{vol}(\mathcal n(\mathbf x))}\\ &=\rho_0(\mathbf X) \det (\mathbf F^{-1}). \end{align*} $$ Тут ми використали градієнт деформації $F = \frac{\partial \mathbf x}{\partial \mathbf X},$ за допомогою якого ми можемо перейти від початкового об'єму до об'єму в час $ t$. А саме, ми знаємо, що $\operatorname{vol}(\mathcal n(\mathbf X)) = \det (\mathbf F) \operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))$. $$ \begin{equation} {\rho(\mathbf x, t)\Big\vert\,}_{\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t)} = \rho_0(\mathbf X)\det \left(\mathbf F^{-1}(\mathbf X, t)\right) = \rho_0(\mathbf X) \mathcal J^{-1}(\mathbf X, t). \label{eq:rho} \end{equation} $$ Відображаючи умову вказану на початку допису, а саме, того що густина початкової конфігурації не залежить від часу, маємо: $$ \begin{equation} \frac{\partial \rho_0(\mathbf X)}{\partial t} = 0. \end{equation} $$ Як щодо $\rho (\mathbf x, t)$? $$\rho_0(\mathbf X) = {\rho(\mathbf x, t)\Big\vert\,}_{\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t)} \mathcal J (\mathbf X, t).$$ $$ \begin{align} {\frac{\partial \rho_0(\mathbf X)}{\partial t}\Bigg\vert}_{\mathbf X - стала} &= \frac{\mathrm D \rho(\mathbf x, t)}{\mathrm D t} \mathcal J (\mathbf X, t) + \rho(\mathbf x, t) {\frac{\partial \mathcal J (\mathbf X, t)}{\partial t}\Bigg\vert}_{\mathbf X - стала}\nonumber\\ &=\left(\frac{\partial \rho(\mathbf x, t)}{\partial t} + \nabla \rho(\mathbf x, t) \cdot \mathbf{v}(\mathbf x, t)\right)\mathcal J (\mathbf X, t) + \rho(\mathbf x, t)\dot{\mathcal J}(\mathbf X, t),\label{eq:rho0dert} \end{align} $$ Тут $\frac{\mathrm D \rho(\mathbf x, t)}{\mathrm D t}$ позначає матеріальну похідну. Тепер розглянемо $\dot{\mathcal J}(\mathbf X, t)$ : $$ \begin{align} \dot{\mathcal J}(\mathbf X, t) &= \frac{\partial \det\left(\mathbf F(\mathbf X, t)\right)}{\partial t}\nonumber\\ &= \frac{\partial \det(\mathbf F(\mathbf X, t))}{\partial \mathbf F(\mathbf X, t)} \mathbf{:} \frac{\partial \mathbf F(\mathbf X, t)}{\partial t}\nonumber\\ &= \frac{\partial \det(\mathbf F(\mathbf X, t))}{\partial F(\mathbf X, t)_{iI}} \frac{\partial F(\mathbf X, t)_{iI}}{\partial t}\label{eq:dotIpre}. \end{align} $$ Тут значок $\mathbf{:}$ позначає згортку тензорів. Градієнт деформації має індекси, що складаються з великої і малої літери бо це двоточковий тензор, тобто він слугує для зв'язку між початковою і поточною конфігураціями. З цього моменту, усюди де це само собою зрозуміло я не писатиму параметри функції. $$\frac{\partial \det(\mathbf F)}{\partial \mathbf F_{iI}} = \frac{\partial \frac{1}{6}\varepsilon_{abc}\varepsilon_{ABC}F_{aA}F_{bB}F_{cC}}{\partial F_{iI}} = \operatorname{Cof}(\mathbf F)_{iI}$$ Де $\varepsilon_{ijk}$ -- це символ Леві-Чивіти, а $\operatorname{Cof}(\mathbf F)_{iI}$ -- це кофактор.

Згадаємо формулу для оберненої матриці: $A^{-1}_{ij}=\frac{\operatorname{Cof}(A^T_{ij})}{\det{A}},$ або в матричному вигляді: $A^{-1} = \frac{\operatorname{Cof}A^T}{\det A}$.

Отже, $\ref{eq:dotIpre}$ можна записати як: $$\dot{\mathcal J} = \mathcal J \mathbf F^{-T} \mathbf{:} \dot{\mathbf F} = \mathcal{J} \dot{F}_{iI} F^{-1}_{Ii} = \mathcal{J} \operatorname{trace}(\dot{\mathbf F} \mathbf F^{-1}) = \mathcal J \mathbb{I}\mathbf{:}(\dot{\mathbf F} \mathbf F^{-1}).$$ Для того, щоб рухатись далі нам потрібно розглянути градієнти матеріальної і просторової швидкостей.

Градієнт матеріальної швидкості $\mathbf V$: $\frac{\partial}{\partial \mathbf X}\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf X} = \frac{\partial}{\partial t} \mathbf F = \dot{\mathbf F}.$

Градієнт просторової швидкості $\mathbf v$: ${\frac{\partial}{\partial \mathbf x}\frac{\partial \Phi}{\partial t}\Bigg\vert}_{\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t)} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf X}\frac{\partial \mathbf X}{\partial \mathbf x} = \dot{\mathbf F}\mathbf F^{-1}.$

Введемо такі позначення: $$ \begin{align} \operatorname{GRAD}\mathbf V &= \frac{\partial \mathbf V}{\partial \mathbf X} = \dot{\mathbf F},\nonumber\\ \mathbf\nabla\mathbf v &= \frac{\partial \mathbf v}{\partial \mathbf x} = \dot{\mathbf F}{\mathbf F^{-1}}\label{eq:spatialgrad}. \end{align} $$ Отже, використовуючи \ref{eq:spatialgrad} маємо, що $\dot{\mathcal J} = \mathcal J \operatorname{trace}(\mathbf\nabla \mathbf v).$ Підставляючи в \ref{eq:rho0dert} отримуємо: $$ \frac{\partial \rho_0}{\partial t} = \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v + \rho \operatorname{trace}(\mathbf\nabla\mathbf v)\right)\mathcal J = 0. $$ Тут ми знаємо, що $\mathcal J \ne 0,$ властивість непроникності речовини, отже ми можемо поділити на $\mathcal J$ і отримати: $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v + \rho \operatorname{trace}(\mathbf\nabla\mathbf v) = 0. $$ Щоб спростити далі зауважимо, що $\mathbf\nabla\mathbf v = \frac{\partial \mathbf v_{i}}{\partial \mathbf x_j}\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j,$ відповідно слід цієї матриці дорівнює $\nabla \cdot \mathbf v.$ І, нарешті, рівняння збереження маси в поточній конфігурації таке: $$ \begin{equation} \boxed{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v + \rho \nabla \cdot \mathbf v = 0. }\label{eq:massconscur} \end{equation} $$ У випадку нестисних плинів $\nabla \cdot \mathbf v = 0,$ тому $$ \begin{equation} \boxed{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v = 0. }\label{eq:massconscurincompress} \end{equation} $$ Зауважте, що ми можемо поєднати два останні доданки у \ref{eq:massconscur}: $$ \boxed{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot( \rho \mathbf v) = 0. } $$

Див. також

• Рівняння неперервності на Вікіпедії.