Вираження у сферичних координатах:
Перехід до декартових від сферчних: $$ \begin{align} x &=r \sin{\theta}\cos{\phi},\label{eq:x}\\ y &=r \sin{\theta}\sin{\phi},\label{eq:y}\\ z &=r \cos{\theta}.\label{eq:z} \end{align} $$ І навпаки: $$ \begin{align} r &= \sqrt{x^2+y^2+z^2}, \label{eq:r}\\ \cos\phi &= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \label{eq:cosphi}\\ \sin\phi &= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \label{eq:sinphi}\\ \cos\theta &= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \label{eq:costheta}\\ \sin\theta &= \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \label{eq:sintheta} \end{align} $$ Використовуючи ланцюгове правило маємо: $$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x},\\ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y},\\ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}. \end{align} $$ Знайти $\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z}$ не дуже складно. Використовуємо $\ref{eq:x}, \ref{eq:y}, \ref{eq:z}:$ $$ \begin{align} \frac{\partial r}{\partial x}&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\sin\theta\cos\phi,\\ \frac{\partial r}{\partial y}&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\sin\theta\sin\phi,\\ \frac{\partial r}{\partial z}&=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\cos\theta.\\ \end{align} $$ Трошки більше проблем з $\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}.$ Нам буде потрібен той факт, що $\sqrt{x^2+y^2} = r\sin\theta.$ Застосовуючи неявне диференціювання, почергово вважаючи $y$ і $x$ сталими:$$ \begin{align*} -\sin\phi\ d\phi &= \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right)dx = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}dx = \frac{\sin^2\phi}{r\sin\theta}dx,\\ \cos\phi\ d\phi &= \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right)dy = \frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}dy = \frac{\cos^2\phi}{r\sin\theta}dy, \end{align*} $$ отже $$ \begin{align} \frac{\partial \phi}{\partial x}&=-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta},\\ \frac{\partial \phi}{\partial y}&=\frac{\cos\phi}{r\sin\theta},\\ \frac{\partial \phi}{\partial z}&=0. \end{align} $$ Останнє рівняння має місце бо $\phi$ не залежить від $z.$
Використовуючи почергово $\ref{eq:costheta}, \ref{eq:costheta}$ і $\ref{eq:sintheta}$, подібним чином обчислюємо $\frac{\partial \theta}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial y}, \frac{\partial \theta}{\partial z}:$ $$ \begin{align*} -\sin\theta\ d\theta &= -\frac{zx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} dx = -\frac{\cos\ \theta\sin\ \theta\cos\ \phi}{r}dx,\\ -\sin\theta\ d\theta &= -\frac{zy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} dy = -\frac{\cos\ \theta\sin\ \theta\sin\ \phi}{r}dy,\\ \cos\theta\ d\theta &= -\frac{z\sqrt{x^2+y^2}}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} dz = \frac{\cos\ \theta\sin\ \theta}{r}dz, \end{align*} $$ отже $$ \begin{align} \frac{\partial \theta}{\partial x}&=\frac{\cos\ \theta\cos\ \phi}{r},\\ \frac{\partial \theta}{\partial y}&=\frac{\cos\ \theta\sin\ \phi}{r},\\ \frac{\partial \theta}{\partial z}&=-\frac{\sin\ \theta}{r}. \end{align} $$
Тепер нам потрібно обчислити $\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ і $\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$ Почнемо з найпростішого: $$ \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \left(\cos\ \theta\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\ \theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\left(\cos\ \theta\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\ \theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right). $$ Далі гірше: $$ \begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \left(\sin\ \theta\cos\ \phi\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\cos\ \theta\cos\ \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\ &\quad \times\left(\sin\ \theta\cos\ \phi\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\cos\ \theta\cos\ \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right),\\ \frac{\partial^2}{\partial y^2} &= \left(\sin\ \theta\sin\ \phi\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\cos\ \theta\sin\ \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\ &\quad \times\left(\sin\ \theta\sin\ \phi\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\cos\ \theta\sin\ \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right). \end{align*} $$ Якщо ми будемо просто розкривати дужки, то збожеволіємо. Тому ми будемо розглядати доданки зі спільним множником. Почнемо з $\frac{\partial^2}{\partial r^2}$: $$[\cos^2\ \theta + \sin^2\ \theta(\cos^2\ \phi + \sin^2\ \phi)] = 1.$$ Себто, перший доданок результату -- це $\boxed{\frac{\partial^2}{\partial r^2}}.$ Гляньмо на те, що відбувається з доданками де кожен множник містить $\frac{\partial}{\partial \phi}.$ Розпишемо ті з них, які в рівняннях із $\frac{\partial}{\partial x^2}$ і $\frac{\partial}{\partial y^2}$ відповідно: $$ \begin{align*} \left(-\frac{\sin\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\cdot\left(-\frac{\sin\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right) &=\frac{\sin\ \phi\cos\ \phi}{r^2\sin^2\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{\sin^2\ \phi}{r^2\sin^2\ \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2},\\ \left(-\frac{\cos\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\cdot\left(-\frac{\cos\ \phi}{r\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right) &=-\frac{\cos\ \phi\sin\ \phi}{r^2\sin^2\ \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{\cos^2\ \phi}{r^2\sin^2\ \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}. \end{align*} $$ У сумі виходить $\boxed{\frac{1}{r^2\sin^2\ \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}}.$ Переходимо до множення додантків із $\frac{\partial}{\partial \theta}:$ $$ \begin{align*} &\left(\frac{\sin\ \theta\cos\ \theta}{r^2} - \frac{\cos\ \theta\sin\ \theta\cos^2\ \phi}{r^2} - \frac{\cos\ \theta\sin\ \theta\sin^2\ \phi}{r^2}\right)\frac{\partial}{\partial \theta}\\ &+\left(\frac{\sin^2\ \theta}{r^2} + \frac{\cos^2\ \theta\cos^2\ \phi}{r^2} + \frac{\cos^2\ \theta\sin^2\ \phi}{r^2}\right)\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}. \end{align*} $$ Отже, маємо $\boxed{\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}}.$Попереду ще багатенько, хай йому грець! Добре, наступне коло, беремося за всі доданки з $\frac{\partial}{\partial r}$ і $\frac{\partial}{\partial \phi}:$ $$ \begin{align*} &\left(\frac{\sin\ \theta\cos\ \phi\sin\ \phi}{r^2\sin\ \phi} - \frac{\sin\ \theta\sin\ \phi\cos\ \phi}{r^2\sin\ \phi}\right)\frac{\partial}{\partial \phi}\\ &+\left(\frac{\sin^2\ \phi\sin\ \theta}{r\sin\ \theta} + \frac{\cos^2\ \phi\sin\ \theta}{r\sin\ \theta}\right)\frac{\partial}{\partial r}\\ &+\bigg(-\frac{\sin\ \theta\cos\ \phi\sin\ \phi}{r\sin\ \theta} - \frac{\sin\ \phi\sin\ \theta\cos\ \phi}{r\sin\ \theta}\\ &\quad\quad + \frac{\sin\ \theta\sin\ \phi\cos\ \phi}{r\sin\ \theta} + \frac{\cos\ \phi\sin\ \theta\sin\ \phi}{r\sin\ \theta}\bigg)\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial}{\partial \phi}\\ =&\boxed{\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}}. \end{align*} $$ Тепер черга за доданками з $\frac{\partial}{\partial r}$ і $\frac{\partial}{\partial \theta}:$ $$ \begin{align*} &\left(\frac{\cos\ \theta\sin\ \theta}{r^2}-\frac{\sin\ \theta\cos^2\ \phi\cos\ \theta}{r^2}-\frac{\sin\ \theta\sin^2\ \phi\cos\ \theta}{r^2}\right)\frac{\partial}{\partial \theta}\\ &+\left(\frac{\sin^2\ \theta}{r} + \frac{\cos^2\ \theta\cos^2\ \phi}{r} + \frac{\cos^2\ \theta\sin^2\ \phi}{r} \right)\frac{\partial}{\partial r}\\ &+\bigg(-\frac{\cos\ \theta\sin\ \theta}{r}-\frac{\sin\ \theta\cos\ \theta}{r}\\ &\quad\quad + \frac{\sin\ \theta\cos\ \theta\cos^2\ \phi}{r} + \frac{\sin\ \theta\cos\ \theta\sin^2\ \phi}{r}\\ &\quad\quad + \frac{\sin\ \theta\cos\ \theta\sin^2\ \phi}{r} + \frac{\sin\ \theta\cos\ \theta\sin^2\ \phi}{r}\bigg)\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial}{\partial \theta}\\ =&\boxed{\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}}. \end{align*} $$ І остання двійка множників -- це $\frac{\partial}{\partial \phi}$ і $\frac{\partial}{\partial \theta}:$ $$ \begin{align*} &\left(\frac{\sin^2\ \phi\cos\ \theta}{r^2\sin\ \theta}+\frac{\cos^2\ \phi\cos\ \theta}{r^2\sin\ \theta}\right)\frac{\partial}{\partial \theta}\\ &+\left(\frac{\cos^2\ \theta\cos\ \phi\sin\ \phi}{r\sin^2\ \theta} - \frac{\cos^2\ \theta\sin\ \phi\cos\ \phi}{r\sin^2\ \theta}\right)\frac{\partial}{\partial \phi}\\ &+\bigg(-\frac{\sin\ \phi\cos\ \theta\cos\ \phi}{r^2\sin\ \theta}-\frac{\cos\ \theta\cos\ \phi\sin\ \phi}{r^2\sin\ \theta}\\ &\quad\quad + \frac{\cos\ \phi\cos\ \theta\sin\ \phi}{r^2\sin\ \theta} + \frac{\sin\ \phi\cos\ \theta\cos\ \phi}{r^2\sin\ \theta}\bigg)\frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\\ =&\boxed{\frac{\cos\ \theta}{r^2\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}}. \end{align*} $$ Тепер збираємо всі доданки обведені прямокутниками, щоб отримати формулу оператора Лапласа у сферичних координатах: $$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\bigg[\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{\cos\ \theta}{\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin^2\ \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\bigg].$$ Ми можемо переписати її в трошки охайнішій формі: $$\boxed{\nabla^2 = r^2\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2\sin\ \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\ \theta\frac{\partial}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2\sin^2\ \theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}}.$$ Зауважте, що домноження на $r^2$ повністю розділяє кутову частину від радіальної. Ось чому уся робота була варта того.
