Лапласіан радіальної функції

Нехай $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} -$ це радіальна функція, тобто $f(x)=f(r)$ де $r:=\left\|x\right\|_2$. Тоді $$\Delta f=\frac{1}{r^{n-1}}\frac{d}{dr}(r^{n-1}f').$$

Доведення:

З одного боку, $$\frac{1}{r^{n-1}}\frac{d}{dr}\left(r^{n-1}f'\right) = \frac{1}{r^{n-1}} \left( (n-1)r^{n-2} f' + r^{n-1} f'' \right) = \frac{n-1}{r}f' + f''$$ З іншого боку, градієнт $f -$ це $$\begin{align*} \displaystyle \nabla f& = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}f,\dots,\frac{\partial}{\partial x_n}f\right)\\ & = \Bigg(\frac{\partial r}{\partial x_1}\frac{\partial f}{\partial r},\dots,\frac{\partial r}{\partial x_n}\frac{\partial f}{\partial r}\Bigg)\\ & = \Bigg(\frac{x_1}{r}f',\dots,\frac{x_n}{r}f'\Bigg)\\ & = \frac{\vec{r}}{r}f',\\ \end{align*}$$ де $\frac{\partial r}{\partial x_i} = \left(\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}\right)'_{x_i} = \frac{2x_i}{2\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}} = \frac{x_i}{r}.$

Тепер ми можемо обчислити Лапласіан $f.$

$$\begin{align*} \nabla\cdot\nabla f& = \nabla\cdot\left(\frac{x_1}{r}f',\dots,\frac{x_n}{r}f'\right) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{r}f'\right)'_{x_i}\\ & = \sum_{i=1}^n \left(\frac{1\cdot r - x_i\cdot x_i/r}{r^2}f' + \frac{x_i}{r}f''\frac{\partial r}{\partial x_i}\right)\\ & = \left( \frac{n}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{r}}{r^3}\right) f' + \frac{\vec{r}\cdot\vec{r}}{r^2}f'' = \frac{n-1}{r}f' + f'' \end{align*}$$ Отже, $\boxed{\displaystyle \Delta f = \frac{1}{r^{n-1}}\frac{d}{dr}\left(r^{n-1}f'\right).}$