Міра Лебега

Функції множин

Означення

Сім'я множин $\mathfrak{R}$ називається кільцем якщо $A,B \in \mathfrak{R}$ тягне за собою $$\begin{equation} A\cup B \in \mathfrak{R},\quad A - B \in \mathfrak{R}. \end{equation}$$ Також, якщо $\mathfrak{R}$ - це кільце, то $A\cap B \in \mathfrak{R}$, бо $A\cap B = A - (A - B)$.

Означення

Кільце $\mathfrak{R}$ називається $\sigma-$кільцем, якщо для будь-яких $A_n \in \mathfrak{R} (n = 1,2,3,\dots)$ виконується $$\begin{equation} \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{R}. \end{equation}$$ Якщо $A_n \in \mathfrak{R}, i = 1,2,3, \dots$, то $$\begin{equation*} \cap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{R}, \end{equation*}$$ тому що $$\begin{equation*} \cap_{n=1}^{\infty} A_n = A_1 - \cup_{n=1}^{\infty}(A_1-A_n). \end{equation*}$$

Означення

$\phi$ - це функція множини визначена на $\mathfrak{R}$ якщо $\phi$ співставляє кожному $A \in \mathfrak{R}$ число $\phi(A)$ з розширеної системи дійсних чисел. $\phi$ адитивна, якщо $A\cap B = 0$ тягне, що $$\begin{equation} \phi(A\cup B) = \phi(A) + \phi(B).\label{eq:phi_additive} \end{equation}$$ $\phi$ зліченно адитивна, якщо $A_i\cap A_j = 0$ тягне, що $$\begin{equation} \phi(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\phi(A_n).\label{eq:phi_count_add} \end{equation}$$

Ми вважатимемо, що область значень $\phi$ не включає одночасно $+\infty$ і $-\infty$, інакше правий бік $\eqref{eq:phi_additive}$ безсенсовий.

Зауважимо, що лівий бік $\eqref{eq:phi_count_add}$ не залежить від того як впорядковані $A_n$, отже, згідно з теоремою Рімана про умовно збіжний ряд, якщо правий бік збігається, то він збігається абсолютно.

Для адитивної $\phi$ легко довести такі властивості: $$\begin{equation} \phi(0)=0.\label{eq:prop_add_zero} \end{equation}$$ Якщо $A_i \cap A_j = 0$ при $i\neq j$ $$\begin{equation} \phi(A_1\cup\cdots A_n)=\phi(A_1)+\cdots+\phi(A_n).\label{eq:prop_add_finite} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \phi(A \cup B) + \phi(A \cap B) = \phi(A) + \phi(B).\label{eq:prop_add_cupcap} \end{equation}$$ Якщо $\phi(A)\ge 0$ для всіх $A$ і $A_1 \subset A_2$, тоді $$\begin{equation} \phi(A_1)\le \phi(A_2). \label{eq:prop_add_mono} \end{equation}$$ Завдяки $\eqref{eq:prop_add_mono}$ невід'ємні адитивні функції множин часто називають монотонними.
Якщо $B \subset A$, і $|\phi(B)|<+\infty$, то $$\begin{equation} \phi(A-B)=\phi(A) - \phi(B) \end{equation}$$ .

Теорема

Припустимо, що $\phi$ зліченно-адитивна на кільці $\mathfrak{R}$. Припустимо також, що $A_n\in \mathfrak{R}, n = 1,2,3,\dots, A_1\subset A_2\subset A_3\subset \cdots$, $A \in \mathfrak{R}$, і $$\begin{equation*} A = \cup_{n=1}^{\infty}A_n. \end{equation*}$$ Тоді, як $n \to \infty$, $$\begin{equation*} \phi(A_n)\to\phi(A). \end{equation*}$$

Позначимо $C_1 = A_1$ і $C_i = A_{i} - A_{i-1}$, тоді $C_i \cap C_j = 0$ для $i\neq j$ і $A_n = \cup_{i=1}^n C_i$. Згідно з $\eqref{eq:phi_count_add}$ маємо, що $$\phi(A_n) = \sum_{i=1}^{n} \phi(C_i) \quad \mbox{i}\quad \phi(A) = \sum_{i=1}^{\infty} \phi(C_i)$$

Побудова міри Лебега

Означення

Нехай $R^p$ позначає $p-$вимірний евклідовий простір. Тоді інтервал в $R^p$ - це множина точок $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_p)$ таких, що $$\begin{equation} a_i\le x_i\le b_i \quad i=1,\dots,p,\label{eq:interval} \end{equation}$$ або множина точок охарактеризована $\eqref{eq:interval}$ з деякими чи усіма $\le$ замінинеми на $<$. Порожня множина також інтервал.

Якщо $A$ - це об'єднання скінченної кількості інтервалів, то $A$ називаємо елементарною множиною.

Якщо $I$ - це інтервал, ми визначимо $$m(I) = \prod_{i=1}^p(b_i-a_i).$$ Якщо $A=I_1\cup\cdots \cup I_n$ і якщо ці інтервали попарно неперетинні, то $$\begin{equation} m(A) = m(I_1)+\cdots+m(I_n).\label{eq:m_disjoint_sum} \end{equation}$$ $\mathcal{E}$ позначає сім'ю всіх елементарних підмножин $R^p$.

• $\mathcal{E}$ - це кільце, але не $\sigma-$кільце.

Означення

Невід'ємна адитивна функція множини $\phi$ визначена на $\mathcal{E}$ регулярна, якщо: для кожного $A \in \mathcal{E}$ і для кожного $\varepsilon > 0$ існують множини $F, G \in \mathcal{E}$ такі, що $F$ - замкнена, $G$ - відкрита, $F\subset A\subset G$ і $$\begin{equation} \phi(G)-\varepsilon\le\phi(A)\le\phi(F)+\varepsilon.\label{eq:setfun_reg} \end{equation}$$

• Функція множини $m$ - регулярна.
• Нехай $R^p = R^1$ і нехай $\alpha$ - це монотонно зростна функція на $R$. Покладемо $$\begin{align*} \mu([a,b)) &= \alpha(b-)-\alpha(a-),\\ \mu([a,b]) &= \alpha(b+)-\alpha(a-),\\ \mu((a,b]) &= \alpha(b+)-\alpha(a+),\\ \mu((a,b)) &= \alpha(b-)-\alpha(a+). \end{align*}$$ Якщо $\mu$ визначена для елементарних множин з $\eqref{eq:m_disjoint_sum}$, то $\mu$ - регулярна на $\mathcal{E}$.

Означення

Нехай $\mu$ адитивна, регулярна, невід'ємна і скінченна на $\mathcal{E}$. Розглянемо зліченне покриття будь-якої множини $E\subset R^p$ відкритими елементарними множинами $A_n$: $$E\subset\cup_{n=1}^{\infty}A_n.$$ Визначимо $$\mu^*(E) = \inf\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n),$$ $\inf$ береться по всіх можливих покриттях $E$ відкритими елементарними множинами. $\mu^*(E)$ називається зовнішня міра $E$, для відповідного $\mu$.

Очевидно, що $\mu^*(E)\ge 0$ для всіх $E$ і якщо $E_1 \subset E_2$, то $$\mu^*(E_1) < \mu^*(E_2).$$

Теорема

1. $$\begin{equation} \forall A\in\mathcal{E},\mu^*(A)=\mu(A).\label{eq:mu_equal_elemset} \end{equation}$$
2. Якщо $E = \cup_1^{\infty}E_n$, тоді $$\begin{equation} \mu^*(E)\le\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(E_n).\label{eq:single_le_cup} \end{equation}$$

Зауважте, що перша частина теореми стверджує, що $\mu^*$ - це продовження $\mu$ з $\mathcal{E}$ на сім'ю всіх підмножин $R^p$.

Означення

Для будь-яких $A \subset R^p, B \subset R^p$, визначимо $$\begin{align} S(A,B) = (A-B)\cup(B-A),\label{eq:def_symdiff}\\ d(A,B) = \mu^*(S(A,B)).\label{eq:def_dist} \end{align}$$

Ми записуватимемо $A_n\to A$ якщо $\lim_{n\to\infty}d(A,A_n) = 0.$

Якщо існує послідовність $\{A_n\}$ елементарних множин таких, що $A_n \to A$, то ми кажемо, що $A$ скінченно $\mu-$вимірна і пишемо $A \in \mathfrak{M}_F(\mu)$.

Якщо $A$ - це об'єднання зліченної колекції скінченно $\mu-$вимірних множин, ми кажемо, що $A$ - це $\mu-$вимірна і пишемо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$.

$S(A,B)$ - це так звана симетрична різниця $A$ і $B$. Далі буде видно, що $d(A,B)$ по суті є функцією відстані.

Перед наступною теоремою нам потрібно розробити декілька властивостей $S(A, B)$ і $d(A, B)$. $$\begin{equation} S(A,B) = S(B,A),\quad S(A,A) = 0.\label{eq:s_p_sym} \end{equation}$$ $$\begin{equation} S(A,B) \subset S(A,C)\cup S(C,B).\label{eq:s_p_tri} \end{equation}$$ $$\begin{equation} S(A_1,B_1)\cup S(A_2,B_2)\supset \begin{cases} S(A_1\cup A_2, B_1\cup B_2)\\ S(A_1\cap A_2, B_1\cap B_2)\\ S(A_1 - A_2, B_1 - B_2). \end{cases} \label{eq:s_p_cases} \end{equation}$$ $$\begin{equation} d(A,B) = d(B,A),\quad d(A,A) = 0.\label{eq:d_p_sym} \end{equation}$$ $$\begin{equation} d(A,B) \le d(A,C) + d(C,B).\label{eq:d_p_tri} \end{equation}$$ $$\begin{equation} d(A_1,B_1)+d(A_2,B_2)\ge \begin{cases} d(A_1\cup A_2, B_1\cup B_2)\\ d(A_1\cap A_2, B_1\cap B_2)\\ d(A_1 - A_2, B_1 - B_2). \end{cases} \label{eq:d_p_cases} \end{equation}$$ І якщо хоча б одна з $\mu^*(A), \mu^*(B)$ - скінченна, то $$\begin{equation} |\mu^*(A) - \mu^*(B)|\le d(A,B).\label{eq:d_p_mudiff} \end{equation}$$ Для доведення можна скористатись $\eqref{eq:d_p_tri}$ з $B$ замість $C$ і $B = 0$.

Ця теорема уможливить отримання бажаного продовження $\mu$.

Теорема

$\mathfrak{M}(\mu)$ - це $\sigma-$кільце і $\mu^*$ зліченно-адитивна на $\mathfrak{M}(\mu)$.

Ми доводитемо теорему в чотири кроки: $\mathfrak{M}_F(\mu)$ - кільце, $\mu^*$ - адитивна, $\mu^*$ - зліченно-адитивна, $\mathfrak{M}(\mu)$ - $\sigma-$кільце.

1. Розглянемо дві множини $A, B \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. Це означає, що існують послідовності $\{A_n\}, \{B_n\}$ елементарних множин, такі що $A_n\to A, B_n\to B$. Але з $\eqref{eq:d_p_cases}$ випливає, що $$d(A_n\cup B_n, A\cup B) \le d(A_n, A) + d(B_n, B),$$ тобто $A_n\cup B_n \to A\cup B$. Аналогічно, $A_n - B_n \to A - B$.
2. Згідно з $\eqref{eq:prop_add_cupcap}$, $$\mu(A_n) + \mu(B_n) = \mu(A_n\cup B_n) + \mu(A_n\cap B_n).$$ З $\eqref{eq:d_p_mudiff}$ $\mu^*(A_n)\to\mu^*(A)$. Тоді з $\eqref{eq:mu_equal_elemset}$ випливає, що $$\mu^*(A) + \mu^*(B) = \mu^*(A\cup B) + \mu^*(A\cap B).$$ Якщо $A \cap B = 0$, то $\mu^*(A\cap B) = 0$, значить $\mu^*$ адитивна на $\mathfrak{M}_F(\mu)$.
3. Припустимо, що $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ і ми маємо покриття $A = \cap_{n=1}^{\infty} A'_n$, де $A'_n \in \mathfrak{M}_F$. Нам потрібно представити $A$ як зліченне об'єднання неперетинних множин з $\mathfrak{M}_F$. Запишемо $A_1 = A'_1$, $A_n = (A'_1 \cup \cdots \cup A'_n) - (A'_1 \cup \cdots \cup A'_{n-1})$. Ці множини взаємо-неперетинні. І тепер ми можемо використати $\eqref{eq:single_le_cup}$: $$\mu^*(A) \le \sum_{n=1}^{\infty}A_n.$$ Також $A \supset A_1 \cup \cdots \cup A_n$, тому $\mu^*(A) \ge \mu^*(A_1) + \cdots + \mu^*(A_n)$. Отже, $$\mu^*(A) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(A_n).$$ Але цього не досить, бо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$, а $A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. Нехай $\mu^*(A) < \infty$. Позначимо $B_n = \cup_{k=1}^{n}A_k$. Тоді $\lim_{n\to\infty} B_n = A$ і $B_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$, отже $A \in \mathfrak{M}_F$. Тепер видно, що $\mu^*$ зліченно-адитивна на $\mathfrak{M}(\mu)$.
4. Тут нам потрібно довести, що зліченне об'єднання і різниця множин з $\mathfrak{M}(\mu)$ є множинами з $\mathfrak{M}(\mu)$.
   • Зліченне об'єднання зліченної колекції скінченно $\mu-$вимірних множин, знов є зліченною колекцією скінченно $\mu-$вимірних множин. (Див. як порахувати раціональні числа)
   • В пункті 3 ми довели, що якщо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ і $\mu^*(A) < \infty$, то $A \in \mathfrak{M}_F(\mu)$.
     Розглянемо $A, B \in \mathfrak{M}(\mu)$, $A = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$ і $B = \cup_{n=1}^{\infty} B_n$, де $A_n, B_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. Маємо, що $$A_n \supset A_n \cap B = \cup_{i=1}^{\infty} (A_n \cap B_i) \in \mathfrak{M}(\mu).$$ Тому $\mu^*(A_n \cap B) \le \mu^*(A_n) < +\infty$, отже $A_n \cup B \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. А їх зліченне об'єднання в $\mathfrak{M}(\mu)$. $$A-B = \cup_{n=1}^{\infty} (A_n \cap B).$$

Тепер ми заміняємо $\mu^*(A)$ на $\mu(A)$, якщо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$. Отже, ми розширили $\mu$ з $\mathcal{E}$ до зліченно-адитивної функції на $\sigma-$кільці $\mathfrak{M}(\mu)$. Таку розширену функцію називають мірою. Особливий випадок коли $\mu = m$ називають мірою Лебега на $R^p$.

Простір з мірою

Означення

Нехай $X$ - це множина, не обов'язково підмножина евклідового простору або навіть метричного простору. Кажуть, що $X$ - це простір з мірою якщо існує $\sigma-$кільце $\mathfrak{M}$ підмножин $X$ (які звуться вимірними множинами) і невід'ємна зліченно адитивна функція $\mu$ (яка зветься мірою), визначені на $\mathfrak{M}$.

Додатково, якщо $X \subset \mathfrak{M}$, тоді кажуть, що $X$ -це вимірний простір.

Вимірні функції

Означення

Нехай $f$ - це функція визначена на вимірному просторі $X$, з обастю значень в розширеній сисетмі дійсних чисел. Кажуть, що функція вимірна якщо множина $$\{x|f(x)>a\}$$ вимірна для кожного $a$.