Тензор інерції

У цьому дописі ми отримаємо вираз для моменту імпульсу твердого 3D тіла. Ми побачимо, що це впровадить концепцію тензора інерції.

• Момент імпульсу
• Тензор інерції
• Головні осі інерції
• Пошук головних осей і моментів інерції як задача власних значень
• Теорема паралельних осей
• Обертання осей

Момент імпульсу

Почнемо з виразу для моменту імпульсу системи частинок щодо її центру мас, $\boldsymbol{H}_G,$ $$\begin{equation}\boldsymbol{H}_G = \sum_{i=1}^n(\boldsymbol{r}'_i\times m_i(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}'_i))=\sum_{i=1}^n m_i {r'}_i^2\boldsymbol{\omega}\end{equation}$$ $$\begin{equation}\boldsymbol{H}_G = \sum_{i=1}^n(\boldsymbol{r}'_i\times m_i(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}'_i))=\sum_{i=1}^n m_i {r'}_i^2\boldsymbol{\omega}=\int_m\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{v}'dm\end{equation}$$ $$\boldsymbol{H}_G = \int_m\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{v}'dm$$

Тут, $\boldsymbol{r}'$ - це вектор позиції відносно центру мас, $\boldsymbol{v}'$ - це вектор швидкості відносно центру мас. Ми використовуємо інтеграл замість суми оскільки ми маємо справу із неперервним розподілом маси.

Для тривимірного твердого тіла, відстані між будь-якими двома частинками залишаються незмінними, а швидкість частинки відносно центру мас становить $$\boldsymbol{v}' = \omega \times \boldsymbol{r}'.$$

Отже маємо $$\boldsymbol{H}_G = \int_m\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{v}'dm = \int_m [(\boldsymbol{r}'\cdot \boldsymbol{r}') \cdot \boldsymbol{\omega} - (\boldsymbol{r}'\cdot \boldsymbol{\omega}) \cdot \boldsymbol{r}'] dm.$$

Тут ми використали векторну тотожність $\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})\boldsymbol{B} -$$ (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}.$ Зауважимо, що для планарних тіл, які рухаються у власній площині, $\boldsymbol{r}'$ завжди перпендикулярний до $\boldsymbol{\omega},$ отже, $\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{\omega}$ є нулем. У цьому випадку вектори $\boldsymbol{\omega}$ та $\boldsymbol{H}_G$ завжди паралельні. У випадку тривимірного тіла таке спрощення не проходить, у висліді вектори $\boldsymbol{\omega}$ та $\boldsymbol{H}_G$ зазвичай не паралельні.

У декартових координатах $\boldsymbol{r}' = x'\boldsymbol{i} + y'\boldsymbol{j} + z'\boldsymbol{k}$ і $\boldsymbol{\omega} = \omega_x\boldsymbol{i} + \omega_y\boldsymbol{j} + \omega_z\boldsymbol{k}.$

\begin{align} \boldsymbol{H}_G &= \Big( \omega_x \int_m ({x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2)\ dm - \int_m (x'\omega_x + y'\omega_y + z'\omega_z) x'\ dm \Big)\ \boldsymbol{i} \nonumber \\ &+ \Big( \omega_y \int_m ({x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2)\ dm - \int_m (x'\omega_x + y'\omega_y + z'\omega_z) y'\ dm \Big)\ \boldsymbol{j} \nonumber \\ &+ \Big( \omega_z \int_m ({x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2)\ dm - \int_m (x'\omega_x + y'\omega_y + z'\omega_z) z'\ dm \Big)\ \boldsymbol{k} \nonumber \\ & \nonumber \\ &= (\hphantom{-} I_{xx} \omega_x - I_{xy} \omega_y - I_{xz} \omega_z)\ \boldsymbol{i} \nonumber \\ &+ (- I_{yx} \omega_x + I_{yy} \omega_y - I_{yz} \omega_z)\ \boldsymbol{j} \nonumber \\ &+ (- I_{zx} \omega_x - I_{zy} \omega_y + I_{zz} \omega_z)\ \boldsymbol{k}. \\ \end{align}

Величини $I_{xx}, I_{yy}$ та $I_{zz}$ звуться моментами інерції щодо осей $x, y$ і $z$ відповідно і задаються через,

$$ I_{xx} = \int_m ({y'}^2 + {z'}^2) dm, I_{yy} = \int_m ({x'}^2 + {z'}^2) dm, I_{zz} = \int_m ({x'}^2 + {y'}^2) dm. $$

Вони аналогічні моменту інерції у двовимірному випадку. Очевидно, що їхні значення додатні. Величини $I_{xy}, I_{xz}, I_{yx}, I_{yz}, I_{zx}$ і $I_{zy}$ звуться добутками інерції. Вони можуть бути додатними, від'ємними або нульовими і задаються через,

$$ I_{xy} = I_{yx} = \int_m x'y' dm, \ \ I_{xz} = I_{zx} = \int_m x'z' dm, \ \ I_{yz} = I_{zy} = \int_m y'z' dm.$$ Вони вимірюють незбалансованість у розподілі маси. Якщо нам потрібно обчислити момент імпульсу щодо точки $O$ тоді, вираз буде, \begin{align} \boldsymbol{H}_G &= (\hphantom{-} (I_{xx})_O\ \omega_x - (I_{xy})_O\ \omega_y - (I_{xz})_O\ \omega_z)\ \boldsymbol{i} \nonumber \\ &+ (- (I_{yx})_O\ \omega_x + (I_{yy})_O\ \omega_y - (I_{yz})_O\ \omega_z)\ \boldsymbol{j} \nonumber \\ &+ (- (I_{zx})_O\ \omega_x - (I_{zy})_O\ \omega_y + (I_{zz})_O\ \omega_z)\ \boldsymbol{k}. \\ \end{align}

Вираз аналогічний попередньому, лише $x', y'$ і $z'$ замінені на $x, y$ і $z.$

Тензор інерції

Вираз для моменту імпульсу заданий формулою (3) можна записати в матричній формі як,

\begin{equation} \begin{pmatrix} H_{Gx} \\ H_{Gy} \\ H_{Gz} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \\ \end{pmatrix} \end{equation} або \begin{equation} \boldsymbol{H}_G = [I_G] \boldsymbol{\omega}, \end{equation}

де $[I_G]$ - це тензор інерції (записаний у матричній формі) відносно центру мас $G$ і щодо $xyz$ осей. Тензор інерції дає нам розуміння того, як маса розподілена у твердому тілі.

З визначення випливає, що тензор інерції завжди симетричний. Наслідком рівняння (5) є те, що навіть коли тіло має деяку симетрію, вектори моменту імпульсу $\vec{H}$ і кутової швидкості $\vec{w}$ не паралельні. Це значно ускладнює аналіз динаміки тіл, що обертаються у трьох вимірах.

Головні осі інерції

Для тривимірного тіла завжди можливо знайти 3 взаємно ортогональні осі ($x, y, z$ координатна система) для яких добутки інерції нульові, і матриця інерції набуває діагональної форми. У більшості задач, це буде найбажаніша система в якій варто формулювати задачу. При обертані щодо лише однієї з цих осей, вектор моменту імпульсу паралельний вектору кутової швидкості. Для симетричних тіл може бути очевидним які осі є головними. Однак, для тіл неправильної форми може бути складно визначити цю систему координат з простого огляду; ми наведемо загальний метод для визначення цих осей у наступному розділі.

Але якщо тіло має симетрії щодо деяких осей, тоді деякі добутки інерції можуть стати нульовими і тоді ми можемо розпізнати головні осі. Наприклад, якщо тіло є симетричним щодо площини $x' = 0$ тоді, ми матимемо $I_{x'y'} = I_{y'x'} = I_{x'z'} = I_{z'x'} = 0$ і $x'$ буде головною віссю. Це можна побачити з визначення добутків інерції.

Інтеграл для, припустимо, $I_{x'y'}$ можна розкласти на два інтеграли для кожної з половинок тіла по обидва боки від площини $x' = 0.$ Інтегрований вираз, $x'y'$ на одній половині дорівнюватиме по величині і матиме протилежний знак із інтегрованим виразом з другої половини (оскільки $x'$ матиме інший знак). Отже, інтеграли по двох половинах скоротяться і добуток інерції $I_{x'y'}$ буде нулем. (Так само як і $I_{x'z'}$)

Також, якщо тіло є симетричним щодо двох площин, які проходять через центр мас, перпендикулярних до координатних осей, тоді тензор інерції діагональний із $I_{x'y'} = I_{x'z'} = I_{y'z'} = 0.$

Інший випадок з практичним значенням спостерігаємо коли ми розглядаємо осесиметричне тіло обертання. У цьому випадку якщо одна з осей збігається з віссю симетрії, тензор інерції має просту діагональну форму. Для осесиметричного тіла моменти інерції щодо будь-яких осей у площині перпендикулярній до осі симетрії будуть однаковими. І отже будь-яка вісь у цій площині є головною. Також можна показати, що якщо момент інерції однаковий щодо двох осей у площині, незалежно від того перпендикулярні вони чи ні, тоді всі осі у площині є головними осями і момент інерції однаковий для всіх осей. За своїми інерційними властивостями тіло поводиться як круговий циліндр.

Тензор інерції набуватиме різних форм залежно від обраних осей. Коли осі такі, що тензор інерції діагональний, то такі осі називаються головними осями інерції.

Пошук головних осей і моментів інерції як задача власних значень

Три перпендикулярні головні осі інерції завжди існують хоча якщо тіло без симетрій їх напрямки можуть бути не очевидними. Щоб знайти головні осі інерції тіла розглянемо тіло накреслене на зображенні, яку обертається відносно невідомої головної осі. Вектор кутового моменту, $I\vec{\omega},$ у напрямку головної осі. Для обертання відносно головної осі, кутовий момент і кутова швидкість мають той самий напрямок.

Ми шукаємо координатні осі $x, y$ і $z,$ відносно яких обертання буде паралельне до напрямку кутового моменту і вони будуть пов'язані таким рівнянням

\begin{equation} \begin{pmatrix}H_{Gx}\\H_{Gy}\\H_{Gz}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I\omega_x\\I\omega_y\\I\omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I&0&0\\ 0&I&0\\ 0&0&I\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Ми можемо виразити загальну форму вектора кутового моменту по складовим уздовж осей $x, y$ і $z$ в термінах складових $\vec{\omega}$ уздовж цих осей, використовуючи загальну форму тензора інерції в системі $x,y, z,$ маємо

\begin{equation} \begin{pmatrix}H_{Gx}\\H_{Gy}\\H_{Gz}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Щоб отримати особливі розв'язки $\omega,$ які вирівняні по головних осях, ми прирівнюємо ці два вирази.

\begin{equation} \begin{pmatrix}H_{Gx}\\H_{Gy}\\H_{Gz}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I\omega_x\\I\omega_y\\I\omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I&0&0\\ 0&I&0\\ 0&0&I\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

На цей момент ми знаємо тензор інерції у довільній $x, y$ і $z$ системі і шукаємо особливі орієнтації $\omega$ такі, щоб спрямувати момент імпульсу разом $H_G$ із кутовою швидкістю $\omega.$ Перефразовуючи рівняння (9) маємо

\begin{equation} \begin{pmatrix} (I_{xx}-I) & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & (I_{yy}-I) & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & (I_{zz}-I) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Тобто

\begin{equation} \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} - I \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix} .\end{equation}

Таким чином, знаходження головних осей інерції зводиться до задачі власних значень. Три власні вектори дають напрямки трьох головних осей, а три власні значення - моменти інерції щодо кожної з цих осей.

У головних осях тензор інерції має таку форму

\begin{equation} [I_G] = \begin{pmatrix} I_x&0&0\\ 0&I_y&0\\ 0&0&I_z\\ \end{pmatrix} \end{equation}

де ми позначаємо $I_x = I_{xx}, I_y = I_{yy}$ і $I_z = I_{zz}.$ Також, у головних осях ми писатимемо

$$\boldsymbol{H}_G = I_x \omega_x \boldsymbol{i} + I_y \omega_y \boldsymbol{j} + I_z \omega_z \boldsymbol{k}.$$

Теорема паралельних осей (Теорема Гюйгенса — Штейнера)

Часто досить легко отримати тензор інерції відносно осей, що проходять через центр мас. Іноді нам необхідно обчислити тензор інерції відносно інших осей.

Ми можемо записати,

\begin{align*} (I_{xx})_O & = \int_m (y^2 + z^2)dm = \int_m ((y_G+y')^2+(z_G+z')^2)dm \\ & = \int_m(y'^2+z'^2)dm + 2y_G\int_m y' dm + 2z_G \int_m z'dm +(y_G^2 + z_G^2)\int_m dm \\ & = I_{xx} + m(y_G^2 + z_G^2). \\ \end{align*}

Тут ми використали факт того, що $y'$ і $z'$ - це координати відносно центру мас і, отже, їх інтеграл по всьому тілу дорівнює нулю. Аналогічно маємо,

$$(I_{yy})_O = I_{yy} + m(x_G^2+z_G^2),\ \ (I_{zz})_O = I_{zz} + m(x_G^2+y_G^2),$$

і

$$(I_{xy})_O = (I_{yx})_O = I_{xy} + m x_G y_G,$$ $$(I_{xz})_O = (I_{zx})_O = I_{xz} + m x_G z_G,$$ $$(I_{yz})_O = (I_{zy})_O = I_{yz} + m y_G z_G.$$

Обертання осей

Іноді ми знатимемо тензор інерції щодо деяких осей $xyz$ і, ми захочемо обчислити тензор інерції щодо інших осей $x'y'z'.$ Позначимо через $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ і $\boldsymbol{k}$ одиничні вектори уздовж осей $xyz$, і через $\boldsymbol{i'}, \boldsymbol{j'}$ і $\boldsymbol{k'}$ одиничні вектори уздовж осей $x'y'z'.$ Перетворення тензора інерції можна здійснити через беручи до уваги перетворення вектора моменту імпульсу $\vec{H}$ і вектора кутової швидкості $\vec{\omega}.$ Почнемо з вираження $\vec{H}$ і $\vec{\omega} у $xyz$ системі.

\begin{equation} \vec{H} = [I]\vec{\omega} \end{equation}

Ми не зазначили із допомогою індексу де є місцеположення початку координат, тобто центр мас $G,$ фіксована точка $O$ або будь-яка інша точка, тому що допоки ми виконуємо лише обертальне перетворення координат щодо цієї точки, це не має значення. Матриця переходу $[T]$ від $xyz$ до $x'y'z'$ складається з добутку двох матриць переходу, з $xyz$ до стандартного базису і зі стандартного базису до $x'y'z',$

$$T = \begin{pmatrix} i'_{x'} & i'_{y'} & i'_{z'} \\ j'_{x'} & j'_{y'} & j'_{z'} \\ k'_{x'} & k'_{y'} & k'_{z'} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{x} & j_{x} & k_{x} \\ i_{y} & j_{y} & k_{y} \\ i_{z} & j_{z} & k_{z} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} H'_1 \\ H'_2 \\ H'_3 \\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} H_1 \\ H_2 \\ H_3 \\ \end{pmatrix}. $$

Так само, перетворення для $\vec{\omega}$ у систему $x'y'z'$ задається через

$$ \begin{pmatrix} \omega'_1 \\ \omega'_2 \\ \omega'_3 \\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \\ \end{pmatrix}. $$

Щоб визначити $\vec{H}'$ (у трансформованій системі) ми множимо обидва боки рівняння (12) на $T,$ і отримуємо

\begin{equation} \vec{H}' = [T] \vec{H} = [T] [I] \vec{\omega} \end{equation}

де $[I]$ - це тензор інерції в початковій системі координат. Але це рівняння не зовсім у правильній формі, нам потрібно $\vec{H}' = [I']\vec{\omega}',$ щоб визначити $[I'],$ тензор інерції у новій координатній системі. Скористаємось тим, що матриця $[T]^T$ також є оберненою для $T$, тоді $[T]^T[T] = [Identity].$ Тепер, ми завжди можемо вставити одиничну матрицю у рівняння наче домножаючи на 1, отже можна записати

\begin{equation} (\vec{H}') = [T]\vec{H} = [T][I][T]^T[T]\vec{\omega} = ([T][I][T]^T)([T]\vec{\omega}) = [I']\omega' \end{equation}

ми згрупували множники таким чином, щоб було очевидно, що тензор інерції у новій системі координат дорівнює

\begin{equation} [I'] = [T][I][T]^T \end{equation}

Отже, якщо ми хочемо обчислити тензор інерції відносно осей $x'y'z',$ ми можемо записати матрицю у формі

$$ \begin{pmatrix} I_{x'x'} & -I_{x'y'} & -I_{x'z'} \\ -I_{y'x'} & I_{y'y'} & -I_{y'z'} \\ -I_{z'x'} & -I_{z'y'} & I_{z'z'} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{k} & \boldsymbol{j}' \cdot \boldsymbol{k} & \boldsymbol{k}' \cdot \boldsymbol{k} \\ \end{pmatrix}, $$

Подібним чином, можна записати із використання косинусів кутів між початковими і новими осями, адже, наприклад, $\boldsymbol{i}' \cdot \boldsymbol{i} = \cos(\theta_{xx'}).$