Жорданова нормальна форма і мінімальний многочлен.

Мінімальний многочлен

Нехай задана дійсна матриця $A$ розміром $n \times n.$

Лема М1

Існує дійсний многочлен $p$ такий, що $p(A) = 0.$

Простір $M_{n\times n}(\mathbb R) -$ це $n^2$-вимірний векторний простір. Візьмімо $\mathbf I, \mathbf A, \mathbf A^2, \dots, \mathbf A^{n^2}.$ Всього маємо $n^2 + 1$ елементів, отже вони лінійно залежні: $\mu_0 \mathbf I + \mu_1 \mathbf A + \dots + \mu_{n^2}\mathbf A^{n^2} = 0.$ Тоді можна записати многочлен $\ p(t) = \sum \mu t^i$ такий, що $p(A) = 0.$

Нехай серед усіх таких многочленів такий, щоб мав найменший степінь і був нормованим, тобто перший коефіцієнт був $1.$ Називатимемо такий многочлен *мінімальним многочленом* матриці $\mathbf A.$

Лема М2

Мінімальний многочлен - унікальний.

Якби ми мали два таких многочлени, то остача від їхнього ділення була б многочленом меншого степеня, що давав би нуль для $\mathbf A.$

Лема М3

Якщо $p$ це деякий многочлен, для якого $p(A) = 0,$ тоді $m$ ділить $p.$

Зрозуміло, що $\deg(p) \ge \deg(m),$ тоді можна записати таке: $p = mq + r$ для певних многочленів $q, r$ таких, що $\deg(r) < \deg(m).$ Тоді $r(\mathbf A) = p(\mathbf A) - m(\mathbf A)q(\mathbf A) = 0,$ але ж $r$ має меншу степінь ніж $m,$ це протирічить мінімальності $m.$

Лема М4

Якщо $\lambda$ це в-значення $\mathbf A,$ тоді воно корінь $m.$

Для певного $v \ne 0$ маємо, що $\mathbf Av = \lambda v.$ Також $\mathbf A^k v^k = \mathbf A^{k-1} \lambda v = \cdots = \lambda^k v,$ для будь-кого цілого $k \ge 0.$ Отже, для будь-якого многочлена $p(A)v = p(\lambda)v,$ в тому числі і для мінімального. З того, що $m(\mathbf A) = 0$ і $v \ne 0$ випливає, що $m(\lambda) = 0.$

Теорема Гамільтона — Келі: Нехай $\chi(t) = \det(\mathbf A - t\mathbf I)$ буде характеристичним многочленом $\mathbf A.$ Тоді $\chi(\mathbf A) = 0.$

Лема М5

Якщо $\chi(t) = \prod_{i=1}^r (t-\lambda_i)^{a_i},$ то що ми можемо сказати про $m(t)?$

Згідно з Гамільтоном — Келі, М3 і М4 маємо, що $m$ може мати лише такий вигляд $\prod_{i=1}^r(t-\lambda_i)^{c_i},$ де $1 \le c_i \le a_i.$

Лема М6

$\chi(t)$ і $m(t) -$ інваріанти щодо зміни базису.

Нехай $\mathbf B = \mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P.$ Зауважимо, що для довільного многочлена $p(\mathbf A) = \mathbf P^{-1}p(\mathbf B) \mathbf P,$ бо $\mathbf B^k = \mathbf P^{-1} \mathbf A^k \mathbf P.$ Тому $p(\mathbf A) = 0$ тоді і тільки тоді, коли $p(\mathbf B) = 0.$ Отже мінімальні многочлени для $\mathbf A$ і $\mathbf B$ ділять один одного і, відповідно, рівні.

Жорданові клітини і жорданова нормальна форма

$\mathbf J = \begin{pmatrix} a & 1 & & \\ & a & 1 \\ & & a & 1 \\ & & & a \\ \end{pmatrix} -$ жорданова клітина, $\begin{pmatrix} \mathbf J_1 & & & \\ & \mathbf J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \mathbf J_k \\ \end{pmatrix} -$ жорданова нормальна форма.

Лема Ж1: Нехай $\mathbf J -$ жорданова клітина з $\lambda$ на діагоналі. Тоді $\lambda -$ єдине в-значення з власним простором розмірності $1.$

Лема Ж2: Нехай $\mathbf J$ це жорданова клітина розміру $k \times k,$ тоді $(\mathbf J - \lambda \mathbf I)^n = 0$ для $n = k$ і не рівна нулю для $n < k.$

Лема Ж3: Якщо $A, B$ це блочні матриці з однаковими розмірами блоків, тоді

$\begin{pmatrix} \mathbf A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \mathbf A_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf B_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \mathbf B_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf A_1\mathbf B_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \mathbf A_n\mathbf B_n \end{pmatrix}$

Теорема

Припустимо, що задана $\mathbf A$ в нормальній жордановій формі. Припустимо, що відмінні діагональні елементи це $\lambda_1, \dots, \lambda_k,$ і $\lambda_i$ з'являється $a_i$ раз. Припустимо, що кількість жорданових клітин з $\lambda_i$ на діагоналі становить $g_i.$ І припустимо, що найбільша жорданова клітина з $\lambda_i$ на діагоналі має розмір $c_i.$ Тоді

1. $\chi(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{a_i}$
2. $m(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{с_i}$ (степінь $(t-\lambda_i)$ в $m(t)$ це розмір найбільшої $\lambda_i$-клітини)
3. $\dim\ker(\mathbf A - \lambda_i \mathbf I) = g_i$ (вимірність в-простору $\lambda_i$ це кількість $\lambda_i$-клітин)

1. Раз $\mathbf A$ в ЖНФ, то вона верхньотрикутна, отже її в-значення у неї на головній діагоналі.
2. Згідно з першим пунктом і М4 маємо, що $m(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{k_i}$ для деяких $k_i.$ Тепер, для того, щоб _вбити_ найбільшу клітину для $j$-го в-значення потрібно $\mathbf A - \lambda_j \mathbf I$ піднести до $c_j$ степеня. Отже, якщо $k_i = c_i,$ то в $(A-\lambda_i)^{k_i}$ всі $\lambda_i$-клітини нульові. Отже, використовуючи Ж3, щоб отримати нулі для $\lambda_p$ і $\lambda_q$ нам треба взяти $(\mathbf A - \lambda_p \mathbf I)^{c_p}(\mathbf A - \lambda_q \mathbf I)^{c_q}.$ Роблячи це для всіх в-значень ми отримуємо нульову матрицю.
3. Згідно з Ж1 маємо по одному виміру в-простору для кожної жорданової клітини.