Функції множин
- Означення
-
Сім'я множин $\mathfrak{R}$ називається кільцем якщо $A,B \in \mathfrak{R}$ тягне за собою
\begin{equation}
A\cup B \in \mathfrak{R},\quad A - B \in \mathfrak{R}.
\end{equation}
Також, якщо $\mathfrak{R}$ - це кільце, то $A\cap B \in \mathfrak{R}$, бо $A\cap B = A - (A - B)$.
- Означення
-
Кільце $\mathfrak{R}$ називається $\sigma-$кільцем, якщо для будь-яких $A_n \in \mathfrak{R} (n = 1,2,3,\dots)$ виконується
\begin{equation}
\cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{R}.
\end{equation}
Якщо $A_n \in \mathfrak{R}, i = 1,2,3, \dots$, то
\begin{equation*}
\cap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{R},
\end{equation*}
тому що
\begin{equation*}
\cap_{n=1}^{\infty} A_n = A_1 - \cup_{n=1}^{\infty}(A_1-A_n).
\end{equation*}
- Означення
-
$\phi$ - це функція множини визначена на $\mathfrak{R}$ якщо $\phi$ співставляє кожному $A \in \mathfrak{R}$ число $\phi(A)$ з розширеної системи дійсних чисел. $\phi$ адитивна, якщо $A\cap B = 0$ тягне, що
\begin{equation}
\phi(A\cup B) = \phi(A) + \phi(B).\label{eq:phi_additive}
\end{equation}
$\phi$ зліченно адитивна, якщо $A_i\cap A_j = 0$ тягне, що
\begin{equation}
\phi(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\phi(A_n).\label{eq:phi_count_add}
\end{equation}
Ми вважатимемо, що область значень $\phi$ не включає одночасно $+\infty$ і $-\infty$, інакше правий бік \eqref{eq:phi_additive} безсенсовий.
Зауважимо, що лівий бік \eqref{eq:phi_count_add} не залежить від того як впорядковані $A_n$, отже, згідно з теоремою Рімана про умовно збіжний ряд, якщо правий бік збігається, то він збігається абсолютно.
Для адитивної $\phi$ легко довести такі властивості:
\begin{equation}
\phi(0)=0.\label{eq:prop_add_zero}
\end{equation}
Якщо $A_i \cap A_j = 0$ при $i\neq j$
\begin{equation}
\phi(A_1\cup\cdots A_n)=\phi(A_1)+\cdots+\phi(A_n).\label{eq:prop_add_finite}
\end{equation}
\begin{equation}
\phi(A \cup B) + \phi(A \cap B) = \phi(A) + \phi(B).\label{eq:prop_add_cupcap}
\end{equation}
Якщо $\phi(A)\ge 0$ для всіх $A$ і $A_1 \subset A_2$, тоді
\begin{equation}
\phi(A_1)\le \phi(A_2). \label{eq:prop_add_mono}
\end{equation}
Завдяки \eqref{eq:prop_add_mono} невід'ємні адитивні функції множин часто називають монотонними.
Якщо $B \subset A$, і $|\phi(B)|<+\infty$, то
\begin{equation}
\phi(A-B)=\phi(A) - \phi(B)
\end{equation}.
- Теорема
-
Припустимо, що $\phi$ зліченно-адитивна на кільці $\mathfrak{R}$. Припустимо також, що $A_n\in \mathfrak{R}, n = 1,2,3,\dots, A_1\subset A_2\subset A_3\subset \cdots$, $A \in \mathfrak{R}$, і
\begin{equation*}
A = \cup_{n=1}^{\infty}A_n.
\end{equation*}
Тоді, як $n \to \infty$,
\begin{equation*}
\phi(A_n)\to\phi(A).
\end{equation*}
Позначимо $C_1 = A_1$ і $C_i = A_{i} - A_{i-1}$, тоді $C_i \cap C_j = 0$ для $i\neq j$ і $A_n = \cup_{i=1}^n C_i$. Згідно з \eqref{eq:phi_count_add} маємо, що
$$ \phi(A_n) = \sum_{i=1}^{n} \phi(C_i) \quad \mbox{i}\quad \phi(A) = \sum_{i=1}^{\infty} \phi(C_i) $$
Побудова міри Лебега
- Означення
-
Нехай $R^p$ позначає $p-$вимірний евклідовий простір. Тоді інтервал в $R^p$ - це множина точок $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_p)$ таких, що
\begin{equation}
a_i\le x_i\le b_i \quad i=1,\dots,p,\label{eq:interval}
\end{equation}
або множина точок охарактеризована \eqref{eq:interval} з деякими чи усіма $\le$ замінинеми на $<$. Порожня множина також інтервал.
Якщо $A$ - це об'єднання скінченної кількості інтервалів, то $A$ називаємо елементарною множиною.
Якщо $I$ - це інтервал, ми визначимо
$$m(I) = \prod_{i=1}^p(b_i-a_i).$$
Якщо $A=I_1\cup\cdots \cup I_n$ і якщо ці інтервали попарно неперетинні, то
\begin{equation}
m(A) = m(I_1)+\cdots+m(I_n).\label{eq:m_disjoint_sum}
\end{equation}
$\mathcal{E}$ позначає сім'ю всіх елементарних підмножин $R^p$.
- $\mathcal{E}$ - це кільце, але не $\sigma-$кільце.
- Означення
-
Невід'ємна адитивна функція множини $\phi$ визначена на $\mathcal{E}$ регулярна, якщо: для кожного $A \in \mathcal{E}$ і для кожного $\varepsilon > 0$ існують множини $F, G \in \mathcal{E}$ такі, що $F$ - замкнена, $G$ - відкрита, $F\subset A\subset G$ і
\begin{equation}
\phi(G)-\varepsilon\le\phi(A)\le\phi(F)+\varepsilon.\label{eq:setfun_reg}
\end{equation}
- Функція множини $m$ - регулярна.
-
Нехай $R^p = R^1$ і нехай $\alpha$ - це монотонно зростна функція на $R$. Покладемо
\begin{align*}
\mu([a,b)) &= \alpha(b-)-\alpha(a-),\\
\mu([a,b]) &= \alpha(b+)-\alpha(a-),\\
\mu((a,b]) &= \alpha(b+)-\alpha(a+),\\
\mu((a,b)) &= \alpha(b-)-\alpha(a+).
\end{align*}
Якщо $\mu$ визначена для елементарних множин з \eqref{eq:m_disjoint_sum}, то $\mu$ - регулярна на $\mathcal{E}$.
- Означення
-
Нехай $\mu$ адитивна, регулярна, невід'ємна і скінченна на $\mathcal{E}$. Розглянемо зліченне покриття будь-якої множини $E\subset R^p$ відкритими елементарними множинами $A_n$:
$$E\subset\cup_{n=1}^{\infty}A_n.$$
Визначимо
$$\mu^*(E) = \inf\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n),$$
$\inf$ береться по всіх можливих покриттях $E$ відкритими елементарними множинами. $\mu^*(E)$ називається зовнішня міра $E$, для відповідного $\mu$.
Очевидно, що $\mu^*(E)\ge 0$ для всіх $E$ і якщо $E_1 \subset E_2$, то
$$\mu^*(E_1) < \mu^*(E_2).$$
- Теорема
-
-
\begin{equation}
\forall A\in\mathcal{E},\mu^*(A)=\mu(A).\label{eq:mu_equal_elemset}
\end{equation}
-
Якщо $E = \cup_1^{\infty}E_n$, тоді
\begin{equation}
\mu^*(E)\le\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(E_n).\label{eq:single_le_cup}
\end{equation}
Зауважте, що перша частина теореми стверджує, що $\mu^*$ - це продовження $\mu$ з $\mathcal{E}$ на сім'ю всіх підмножин $R^p$.
- Означення
-
Для будь-яких $A \subset R^p, B \subset R^p$, визначимо
\begin{align}
S(A,B) = (A-B)\cup(B-A),\label{eq:def_symdiff}\\
d(A,B) = \mu^*(S(A,B)).\label{eq:def_dist}
\end{align}
Ми записуватимемо $A_n\to A$ якщо $\lim_{n\to\infty}d(A,A_n) = 0.$
Якщо існує послідовність $\{A_n\}$ елементарних множин таких, що $A_n \to A$, то ми кажемо, що $A$ скінченно $\mu-$вимірна і пишемо $A \in \mathfrak{M}_F(\mu)$.
Якщо $A$ - це об'єднання зліченної колекції скінченно $\mu-$вимірних множин, ми кажемо, що $A$ - це $\mu-$вимірна і пишемо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$.
$S(A,B)$ - це так звана симетрична різниця $A$ і $B$. Далі буде видно, що $d(A,B)$ по суті є функцією відстані.
Перед наступною теоремою нам потрібно розробити декілька властивостей $S(A, B)$ і $d(A, B)$.
\begin{equation}
S(A,B) = S(B,A),\quad S(A,A) = 0.\label{eq:s_p_sym}
\end{equation}
\begin{equation}
S(A,B) \subset S(A,C)\cup S(C,B).\label{eq:s_p_tri}
\end{equation}
\begin{equation}
S(A_1,B_1)\cup S(A_2,B_2)\supset
\begin{cases}
S(A_1\cup A_2, B_1\cup B_2)\\
S(A_1\cap A_2, B_1\cap B_2)\\
S(A_1 - A_2, B_1 - B_2).
\end{cases}
\label{eq:s_p_cases}
\end{equation}
\begin{equation}
d(A,B) = d(B,A),\quad d(A,A) = 0.\label{eq:d_p_sym}
\end{equation}
\begin{equation}
d(A,B) \le d(A,C) + d(C,B).\label{eq:d_p_tri}
\end{equation}
\begin{equation}
d(A_1,B_1)+d(A_2,B_2)\ge
\begin{cases}
d(A_1\cup A_2, B_1\cup B_2)\\
d(A_1\cap A_2, B_1\cap B_2)\\
d(A_1 - A_2, B_1 - B_2).
\end{cases}
\label{eq:d_p_cases}
\end{equation}
І якщо хоча б одна з $\mu^*(A), \mu^*(B)$ - скінченна, то
\begin{equation}
|\mu^*(A) - \mu^*(B)|\le d(A,B).\label{eq:d_p_mudiff}
\end{equation}
Для доведення можна скористатись \eqref{eq:d_p_tri} з $B$ замість $C$ і $B = 0$.
Ця теорема уможливить отримання бажаного продовження $\mu$.
- Теорема
-
$\mathfrak{M}(\mu)$ - це $\sigma-$кільце і $\mu^*$ зліченно-адитивна на $\mathfrak{M}(\mu)$.
Ми доводитемо теорему в чотири кроки: $\mathfrak{M}_F(\mu)$ - кільце, $\mu^*$ - адитивна, $\mu^*$ - зліченно-адитивна, $\mathfrak{M}(\mu)$ - $\sigma-$кільце.
-
Розглянемо дві множини $A, B \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. Це означає, що існують послідовності $\{A_n\}, \{B_n\}$ елементарних множин, такі що $A_n\to A, B_n\to B$. Але з \eqref{eq:d_p_cases} випливає, що
$$d(A_n\cup B_n, A\cup B) \le d(A_n, A) + d(B_n, B),$$
тобто $A_n\cup B_n \to A\cup B$. Аналогічно, $A_n - B_n \to A - B$.
-
Згідно з \eqref{eq:prop_add_cupcap},
$$\mu(A_n) + \mu(B_n) = \mu(A_n\cup B_n) + \mu(A_n\cap B_n).$$
З \eqref{eq:d_p_mudiff} $\mu^*(A_n)\to\mu^*(A)$. Тоді з \eqref{eq:mu_equal_elemset} випливає, що
$$\mu^*(A) + \mu^*(B) = \mu^*(A\cup B) + \mu^*(A\cap B).$$
Якщо $A \cap B = 0$, то $\mu^*(A\cap B) = 0$, значить $\mu^*$ адитивна на $\mathfrak{M}_F(\mu)$.
-
Припустимо, що $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ і ми маємо покриття $A = \cap_{n=1}^{\infty} A'_n$, де $A'_n \in \mathfrak{M}_F$. Нам потрібно представити $A$ як зліченне об'єднання неперетинних множин з $\mathfrak{M}_F$. Запишемо $A_1 = A'_1$, $A_n = (A'_1 \cup \cdots \cup A'_n) - (A'_1 \cup \cdots \cup A'_{n-1})$. Ці множини взаємо-неперетинні. І тепер ми можемо використати \eqref{eq:single_le_cup}:
$$\mu^*(A) \le \sum_{n=1}^{\infty}A_n.$$
Також $A \supset A_1 \cup \cdots \cup A_n$, тому $\mu^*(A) \ge \mu^*(A_1) + \cdots + \mu^*(A_n)$. Отже,
$$\mu^*(A) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(A_n).$$
Але цього не досить, бо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$, а $A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. Нехай $\mu^*(A) < \infty$. Позначимо $B_n = \cup_{k=1}^{n}A_k$. Тоді $\lim_{n\to\infty} B_n = A$ і $B_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$, отже $A \in \mathfrak{M}_F$. Тепер видно, що $\mu^*$ зліченно-адитивна на $\mathfrak{M}(\mu)$.
-
Тут нам потрібно довести, що зліченне об'єднання і різниця множин з $\mathfrak{M}(\mu)$ є множинами з $\mathfrak{M}(\mu)$.
-
Зліченне об'єднання зліченної колекції скінченно $\mu-$вимірних множин, знов є зліченною колекцією скінченно $\mu-$вимірних множин. (Див. як порахувати раціональні числа)
-
В пункті 3 ми довели, що якщо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ і $\mu^*(A) < \infty$, то $A \in \mathfrak{M}_F(\mu)$.
Розглянемо $A, B \in \mathfrak{M}(\mu)$, $A = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$ і $B = \cup_{n=1}^{\infty} B_n$, де $A_n, B_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. Маємо, що
$$A_n \supset A_n \cap B = \cup_{i=1}^{\infty} (A_n \cap B_i) \in \mathfrak{M}(\mu).$$
Тому $\mu^*(A_n \cap B) \le \mu^*(A_n) < +\infty$, отже $A_n \cup B \in \mathfrak{M}_F(\mu)$. А їх зліченне об'єднання в $\mathfrak{M}(\mu)$.
$$A-B = \cup_{n=1}^{\infty} (A_n \cap B).$$
Тепер ми заміняємо $\mu^*(A)$ на $\mu(A)$, якщо $A \in \mathfrak{M}(\mu)$. Отже, ми розширили $\mu$ з $\mathcal{E}$ до зліченно-адитивної функції на $\sigma-$кільці $\mathfrak{M}(\mu)$. Таку розширену функцію називають
мірою. Особливий випадок коли $\mu = m$ називають
мірою Лебега на $R^p$.
Простір з мірою
- Означення
-
Нехай $X$ - це множина, не обов'язково підмножина евклідового простору або навіть метричного простору. Кажуть, що $X$ - це простір з мірою якщо існує $\sigma-$кільце $\mathfrak{M}$ підмножин $X$ (які звуться вимірними множинами) і невід'ємна зліченно адитивна функція $\mu$ (яка зветься мірою), визначені на $\mathfrak{M}$.
Додатково, якщо $X \subset \mathfrak{M}$, тоді кажуть, що $X$ -це
вимірний простір.
Вимірні функції
- Означення
-
Нехай $f$ - це функція визначена на вимірному просторі $X$, з обастю значень в розширеній сисетмі дійсних чисел. Кажуть, що функція вимірна якщо множина
\[
\{x|f(x)>a\}
\]
вимірна для кожного $a$.
