Дещо з початку теорії груп

Деякі позначення:

• $GL_n(\mathbb{R})$ (загальна лінійна група) - група матриць $n\times n$ на полі дійсних чисел
• $SL_n(\mathbb{R})$ (спеціальна лінійна група) - група матриць $n\times n$ на полі дійсних чисел визначники яких дорівнюють 1
• $\mathbb{Z}_n = \{0, \dots, n - 1\}$
• $\mathbb{Z}^*_n$ - група оборотних елементів у $\mathbb{Z}_n$
• $C_2, \mathbb{Z}_2$ - циклічні групи із множенням і додаванням відповідно.

Визначення. Група - це непорожня множина $G$ на якій задана бінарна операція $(a, b) \mapsto ab$, така що

• якщо $a, b \in G$, тоді $ab \in G$,
• $a(bc)=(ab)c$ для всіх $a, b, c \in G$,
• існує елемент $1 \in G$, такий що $a1 = 1a = a$ для всіх $a \in G$,
• якщо $a \in G$, тоді існує елемент $a^{-1}\in G$, такий що $aa^{-1}=a^{-1}a=1$.

Твердження. Нехай $G$ - група і $H$ - це непорожня її підмножина. Тоді такі твердження тотожні:

1. $H$ є підгрупою $G$.
2. • $x, y \in H$ означає, що $xy \in H$ для всіх $x, y$
   • $x \in H$ означає, що $x^{-1} \in H$.
3. $x,y\in H$ означає, що $xy^{-1} \in H$ для всіх $x, y$.

Визначення. Індексом підгрупи $H$ в $G$ є число її правих (лівих) класів суміжності. І позначається як $[G:H]$.

Визначення. Нехай $G$ це група і $H \le G$. Ми кажемо, що $H$ це нормальна підгрупа $G$ якщо $$cHc^{-1} = H, \forall c \in G.$$

Згадаймо, що якщо $f:G\to H$ це гомоморфізм груп, то ядро $f$ визначено як $$Ker(f) = \{a\in G, g(a) = 1\}.$$ Ядро гомоморфізму вимірює степінь неін'єктивності гомоморфізму.

Твердження. Кожна нормальна підгрупа є ядром гомоморфізму. Гомоморфізм ін'єктивний якщо його ядро містить саме один елемент.

Термінологія

• мономорфізм = ін'єктивний гомоморфізм
• епіморфізм = сюр'єктивний гомоморфізм
• ізоморфізм = бієктивний гомоморфізм
• ендоморфізм = гомоморфізм групи на себе
• автоморфізм = ізоморфізм групи із собою

Теореми про ізоморфізми

Теорема. (1 теорема про ізоморфізми). Якщо $f:G \to H$ це гомоморфізм з ядром $K$, тоді область значень $f$ ізоморфна $G/K$: $$Im(f)\simeq G/Ker(f).$$

Теорема. (2 теорема про ізоморфізми). Якщо $H, G$ це підгрупи $G$, а $N$ нормальна в $G$, тоді $$H/(H\cap N) \simeq HN/N.$$

Теорема. (3 теорема про ізоморфізми). Якщо $N, H$ це нормальні підгрупи $G$, і $N \subseteq H$, тоді $$G/H \simeq (G/N)(H/N).$$

Якщо $G$ містить нормальні підгрупи $H$ і $K$, такі що $G = HK$ і $H\cap K= \{1\}$, ми кажемо, що $G$ це внутрішній прямий добуток $H$ і $K$.

Якщо $G$ містить нормальні групи $H_1, \ldots, H_n$, так що $G = H_1\cdots H_n$ і кожне $g$ можна єдиним чином представити як $h_1\cdots h_n$, ми кажемо, що $G$ це внутрішній прямий добуток $H_i.$