Векторна тотожність $\vec{u}\times \vec{\omega}=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}.$

У цьому дописі я розгляну векторну тотожність $$\vec{u}\times \vec{\omega}=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}.$$ Почнемо з того, що $\vec\omega = \frac{1}{2}\vec\nabla\times\vec u,$ бо абсолютна величина кутової швидкості дорівнює половині абсолютної величини ротора. Отже, ми можемо переписати $$\vec{u}\times (\vec\nabla\times\vec{u})=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}.$$ Або, скориставшись антикомутативністю векторного добутку: \begin{align} \vec\nabla\times\vec{u}\times\vec{u}=\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}-\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})\label{prepared}. \end{align}

Допоміжні поняття

Тут нам знадобиться поняття символу перестановки: $$ e_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{якщо } i,j,k - \text{це парна перестановка } 1,2,3 \\ -1 & \text{якщо } i,j,k - \text{це непарна перестановка } 1,2,3 \\ 0 & \text{інакше} \end{cases} $$ Розглянемо матрицю $A$ з елементами $a_{ir}$. За допомогою нашого символу ми можемо записати її визначник як \begin{align} \det A &= \frac{1}{3!}e_{ijk}e_{rst}a_{ir}a_{js}a_{kt}\nonumber,\\ \det A &= e_{rst}a_{1r}a_{2s}a_{3t}\label{detordered}. \end{align}

Тепер зауважимо, що \begin{align} e_{ijm}e_{rsm} = e_{1ij}e_{1rs}-e_{i2j}e_{r2s}+e_{ij3}e_{rs3}=e_{ij}e_{rs}\label{deltacancel}. \end{align} І в свою чергу \begin{align} e_{ij}e_{rs} = \delta_{ir}\delta_{js} - \delta_{is}\delta_{jr}, \end{align} де $\delta_{ij} -$ це символ Кронекера.

Доведення

Повернемось до \ref{prepared} і запишемо її у координатному вигляді. Для цього нам потрібно розібратись із $\vec{\nabla}\times\vec u.$ Використовуючи \ref{detordered} ми можемо записати: \begin{align} \vec{\nabla}\times\vec u &= e^{ijk}\vec{e}_i\frac{\partial}{\partial x_j}u_k.\label{curl} \end{align} \begin{align} \vec\nabla\times\vec{u}\times\vec{u} &= e_{lmn}\vec{e}_l(e_{mjk}\frac{\partial}{\partial x_j}u_k)u_n\nonumber\\ &= -\vec{e}_le_{lnm}e_{jkm}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n\nonumber\\ &= -\vec{e}_le_{ln}e_{jk}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n&&\text{скористалися }\ref{deltacancel}\nonumber\\ &= -\vec{e}_l\left(\delta_{lj}\delta_{nk}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n-\delta_{lk}\delta_{nj}\frac{\partial}{\partial x_j}u_ku_n\right)\nonumber\\ &= -\vec{e}_l\left(\frac{\partial}{\partial x_l}u_ku_k-\frac{\partial}{\partial x_j}u_lu_j\right)\label{proofongoing} \end{align} Тут ми трошки пригальмуємо і роззирнемось. Щоб рухатись далі згадаємо, що таке градієнт вектора: $$\vec\nabla\vec{u} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \vec{e}_i\otimes\vec{e}_j.$$ Тепер нам варто розглянути як в індексному записі ми можемо представити величини, що ми зустріли: \begin{align*} \vec\nabla\vec{u} &= \frac{\partial u_i}{\partial x_j},&& ij\text{-й елемент}\\ \vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u}) &= \frac{1}{2}\vec\nabla\vec{u}_i\vec{u}_i + \frac{1}{2}\vec{u}_i\vec\nabla\vec{u}_i = \frac{\partial u_i}{\partial x_k}u_i, && k\text{-й елемент}\\ \vec{u}\cdot\vec\nabla\vec{u} &= (\vec{u}\cdot\vec\nabla)\vec{u} = u_i\frac{\partial u_k}{\partial x_i} && k\text{-й елемент} \end{align*} Використаємо нові знання про індексні записи у \ref{proofongoing}: \begin{align} \vec\nabla\times\vec{u}\times\vec{u} &= -\vec{e}_l\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_l}u_k-u_j\frac{\partial u_l}{\partial x_j}\right)\nonumber\\ &= -\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u}) + \vec{u}\cdot\vec\nabla\vec{u}\nonumber \end{align} Це і є те, що ми збирались довести. $\square$