Підсилення і комплексне підсилення

Формула експоненційного відгуку (ФЕВ)

Припустимо, що ми маємо рівняння $P(D)x = e^{rt}.$ Давайте спробуємо експоненційний розв'язок $x = A e^{rt}:$ $$e^{rt} = P(D)x = P(D)(Ae^{rt}) = AP(r)e^{rt}.$$ Отже, $A = 1/P(r)$ і розв'язком буде $$x_p(t) = \frac{e^{rt}}{P(r)}.$$ Це виконується якщо $P(r) \ne 0.$

Комплексна заміна.

ФЕВ чарівно поєднується з формулою Ейлера. Якщо коефіцієнти многочлена $P(r)$ дійсні, то $$\operatorname{Re}(P(D)f(t)) = P(D)\operatorname{Re}(f(t)).$$ З цього випливає, що розв'язок лінійного диф. рівняння $$P(D)x = \cos (\omega t)$$ зі сталими дійсними коефіцієнтами це дійсна частина розв'язку іншого рівняння $$P(D)z = e^{i\omega t}.$$ Це називається комплексною заміною.

Узагальнена ФЕВ

Випадок коли $P(r) = 0.$ Гляньмо ще раз на головне рівняння використане ФЕВ $$P(D)e^{rt} = P(r)e^{rt}.$$ Використаємо як змінну $r$ і продиференціюємо щодо $r$. $$\begin{align*} P(D)te^{rt} &= P'(r)e^{rt} + P(r)re^{rt} &&\\ &= P'(r)e^{rt} && \mbox{бо} \ P(r) = 0 \end{align*}$$ Раз це виконується, то $\frac{te^{rt}}{P'(r)}$ це розв'язок $P(D)x = e^{rt}.$

Ми можемо продовжити процес: Якщо $P(r) = \cdots = P^{(k-1)} = 0$, але $P^{(k)}\ne 0,$ тоді

$$\begin{equation}\frac{t^ke^{rt}}{P^{(k)}(r)}\label{gen_erf}\end{equation}$$ це розв'язок $$P(D)x = e^{rt}.$$

Комплексне підсилення

Поєднання комплексної заміни і ФЕВ надає критичну інформацію про синусоїдальний розв'язок рівнянь у вигляді $$P(D)x = Q(D)(\mbox{синусоїда}).$$ Цей метод дає синусоїдальний розв'язок у вигляді $$x_p(t) = \operatorname{Re}(Ge^{i\omega t})$$ де $\omega$ - це кутова швидкість входової синусоїди, а $G$ - це деяка комплексна стала.

Якщо виразити $G$ в полярній формі:

$$G=|G|e^{-i\phi },\quad \mbox{отже}\quad \phi =-\mathrm{arg}(G).$$ Тоді дійсна частина становитиме: $$|G|\cos(\omega t - \phi).$$ У випадку рівняння $$P(D)z = Q(D)e^{i\omega t},$$ знаходимо, що $$G(\omega)=\frac{Q(i\omega)}{P(i\omega)}.$$ Це комплексне число називається комплексним підсиленням. Воно містить в собі підсилення і фазове запізнення.

Трошки термінології

$\omega_n$ - природна частота. У випадку коли входова частота збігається з природною, то кажуть, що система в чистому резонансі, і тоді $\omega_n$ - це резонантна частота.

Приклад використання ФЕВ і перетворення Лапласа

Розглянемо рівняння: $$\ddot x + 9x = 9\cos(3t).$$ Для розв'язання ми можемо використати комплексне підсилення разом ФЕВ або перетворення Лапласа. Для використання перетворення Лапласа нам необхідно задати початкові умови. Нехай $x(0) = 2, \dot x(0) = 0$. Проведемо комлексну заміну, тобто ми шукатимемо дійсну частину розв'язку такого рівняння: $$\ddot x + 9x = 9e^{i3t}$$ Тут $P(D) = D^2 + 9$, отже маємо, що $P(i3) = 0.$ Тому нам необхідно використати узагальнену ФЕВ. Використавши $\ref{gen_erf}$, маємо: $$x=Re\left(\frac{9te^{i3t}}{6i}\right) = \frac{3}{2}t\sin(3t).$$ Для задоволення початкових умов, нам потрібен розв'язок $a\cos(3t)+b\sin(3t)$ відповідного однорідного рівняння $\ddot x + 9x = 0.$ Із нашими початковими умовами $a = 2, b = 0.$ І повний розв'язок такий: $\boxed{x = \frac{3}{2}t\sin(3t) + 2\cos(3t)}.$

Тепер використаємо перетворення Лапласа. Спочатку застосуємо перетворення Лапласа до обох боків рівняння. Таким чином ми перейдемо від диференціальної до алгебричної задачі. $$\begin{align*} \mathcal{L}(9\cos(3t)) &= \frac{9s}{s^2 + 9}\\ \mathcal{L}(x) &= X\\ \mathcal{L}(\ddot x) &= s^2X - sx(0) - \dot x(0)= s^2X - 2s\\ \end{align*}$$ Тепер ми маємо алгебричне рівняння від $X$: $$\begin{align*} s^2X - 2s + 9X &= \frac{9s}{s^2+9}\\ X(s^2+9) &= \frac{9s}{s^2+9} +2s\\ X &= \frac{9s}{(s^2+9)^2} + \frac{2s}{s^2+9}\\ \end{align*}$$ Зараз нам треба знайти зворотнє перетворення Лапласа для $X$. Із другим доданком все просто, він з точністю до сталої - табличний. $$\mathcal L^{-1}(\frac{2s}{s^2+9}) = 2\cos(3t)$$ З першим доданком трошки цікавіше. $$\mathcal L^{-1}\left(\frac{9s}{(s^2+9)^2}\right) = L^{-1}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{s^2+9}\right)'\right) = \frac{3}{2}t\sin(3t)$$ Отже, $\boxed{x = \frac{3}{2}t\sin(3t) + 2\cos(3t)}.$
Так, обидва методи дали ту саму відповідь, що ми й очікували.

Ремарка на перетворення Лапласа

Звернімо увагу, що зворотне перетворення Лапласа не однозначне, бо інтервал інтегування це $0, +\infty$. Тому частина, що менше або рівна нулю може бути будь-якою. Через це

Якщо задача починається зараз і продовжується в майбутньому і вам не потрібно нічого знати про минуле, це задача на перетворення Лапласа. Якщо вам треба знати про минуле, то це задача на перетворення Фур'є.