Загальна транспортна теорема
Нехай
\mathbf F буде гладким векторним або скалярним полем в області
\mathcal R(t) чиї межі це
\mathcal S(t), і нехай
\mathbf W буде полем швидкостей часозалежного руху
\mathcal S(t). Тоді
\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf F(x, t)\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F\mathbf W \cdot \mathbf n\ dA.
Транспортна теорема Рейнольдса
Нехай
\mathbf\Phi буде гладким векторним або скалярним полем, і припустимо, що
\mathcal R(t) це пакунок плину з поверхнею
\mathcal S(t), що мандрує зі швидкістю потоку
\mathbf U. Тоді
\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf\Phi\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial\mathbf\Phi}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\mathbf\Phi \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.
Виведення з Загальної транспортної теореми.
Якщо наша область рухається зі швидкістю потоку, то
\mathbf W = \mathbf U і загальна похідна перетворюється на матеріальну.
1
Рівняння неперервності для контрольного об'єму
Почнемо з розглядання фіксованої маси плину
m, що міститься в
довільній області
\mathcal R(t).
m=\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.
\mathcal R(t), m можуть змінюватись з часом, але маса повинна залишатись незмінною. Наприклад, можна розглянути повітряну кульку з теплим повітрям у холодному середовищі.
\frac{dm}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.
Застосувавши загальну транспортну теорему маємо:
\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf W\cdot \mathbf n\ dA = 0.
У плинових системах зазвичай зручно вважати, що поле швидкостей
\mathbf W було полем швидкостей плину, що відповідає розгляданню на локальному рівні нашої області як пакунок плину.
\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf U\cdot \mathbf n\ dA = 0.
Використавши формула Остроградського-Гауса ми позбуваємось двох типів інтегралів залишаючи лише інтеграл по об'єму:
\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.
З того, що область
\mathcal R(t) було обрана довільно ми можемо вважати, що це діє і для наскільки завгодно малої області (в рамках нашої гіпотези неперервності), тобто інтеграл мусить бути нулем усюди в
\mathcal R(t). Якщо це не так ми можемо розділити
\mathcal R(t) на дві підобласті додатну і від'ємну і показити цим порушення рівності нулю. Отже,
\begin{equation}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U=0\label{eq:cont_eq_df}\end{equation}.
Це
диференціальна форма рівняння неперервності.
Якщо розписати оператор дивергенції, то маємо
\begin{equation} \rho_t + (\rho u)_t + (\rho v)_t + (\rho w)_t = 0\label{eq:cont_eq_div_decomp}\end{equation}.
Тепер можна використати добутку для похідних
\frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot \mathbf U = 0\label.
У випадку
нестисного потоку, \rho - стале, маємо
\begin{equation}u_x + v_y + w_z = 0\label{eq:incompres_uvw}\end{equation}.
Аналіз у випадку контрольного об'єму
Оскільки
\ref{eq:cont_eq_df} виконується для будь-якого об'єму, то ми можемо записати його і для пакунку плину
\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.
Тепер ми використаємо формулу Остроградського-Гауса в іншому напрямку
\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)} \rho \mathbf U \cdot \mathbf n = 0.
Тепер Загальну транспортну теорему
\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.
Якщо
\mathcal S_e(t) - зона входів і виходів через які плин може втікати і витікати, то
\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S_e(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.
Це рівняння називається
рівняння неперервності для контрольного об'єму і виражає очевидний факт, що
| \{ |
швидкість збільшення маси
контрольного об'єму |
\} |
= |
\{ |
сумарний потік
крізь поверхню |
\} |
Спрощення
Якщо густина незмінна з часом, а контрольний об'єм нерухомий, тобто
\mathbf W = 0, тоді можна записати
\begin{equation}\int_{\mathcal S_e(t)}\rho\mathbf U \cdot \mathbf n\ dA = 0\label{eq:cv_simple}\end{equation}.
Рівняння
\ref{eq:cv_simple} вимірюється в одиницях
\rho U A, тобто
\frac{M}{L^3}\frac{L}{T}L^2 = \frac{M}{T}. Ми називаємо це
масовою ви́тратою \dot m = \rho U A. У випадку часозалежної поверхні маємо
\dot m = \int_{\mathcal S_e(t)} \rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot n\ dA.
Рівняння імпульсу потоку плину
Тут нам знадобиться закон Ньютона, який ми запишемо в альтернативній формі
F/V = \frac{d}{dt}(\rho u).
На відміну від випадку з рівнянням неперевності наша область одразу буде пакунком плину.
Якщо ми використовуємо Ейлерову точку зору, то швидкість зміни вектора імпульсу
\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV.
Маємо основні два типи сил, які треба врахувати:
- масова сила - \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV,
- поверхнева сила - \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA.
\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum}\end{equation}.
Не дуже зручно мати в одному рівнянні два типи інтегралів: по поверхні і по об'єму. Також хотілось би використовувати змінні, які звичні інженерних обчислень, тому потрібно виразити об'єм і поверхню через ці змінні.
Зауважимо, що масові сили досить прості, тобто зазвичай це лише виштовхувальна сила через гравітаційне прискорення,
\mathbf F_B = \rho \mathbf g. Натомість робота з поверхневими силами вимагає певних серйозних зусиль, тому спочатку ми спростимо рівняння внесенням диференціювання під знак інтеграла. Для цього ми використаємо транспортну теорему Рейнольдса.
\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho u}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\rho u \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.
Знов використаємо формулу Остроградського-Гауса, щоб отримати інтеграл по об'єму праворуч, під знаком інтегралу маємо
\frac{\partial \rho u}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u \mathbf U) = \frac{\partial \rho u}{\partial t} + \mathbf U \cdot \nabla (\rho u) + \rho u \nabla \cdot \mathbf U.
Тому що ми маємо справу з нестисним потоком, ми можемо використати
\ref{eq:incompres_uvw}
\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho\mathbf U \cdot \nabla u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{D u}{D t}\ dV \label{eq:for_momentum_under_int}\end{equation},
де
u - це
x-компонент швидкості. Перезапишемо
\ref{eq:momentum} використавши
\ref{eq:for_momentum_under_int}:
\begin{equation}\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum_under_int}\end{equation}.
Ну що ж, нам залишились два кроки: перевести рівняння \ref{eq:momentum_under_int} до диференціальної форми і розібратись із поверхневими силами. Зауважимо, що \mathbf F_S - це вектор і це говорить, що має існувати матриця \Lambda, така що \mathbf F_S = \mathbf{\Lambda} \cdot \mathbf n. З того, що \mathbf n - це чисто геометрична величина, нормаль до поверхні, то фізична сутність поверхневих сил мусить зберігатись в матриці \mathbf{\Lambda}.
Тепер ми готові записати базову форму диференціального рівняння імпульсу:
\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf{\Lambda}\cdot\mathbf n\ dA,
Тому що
\mathcal R(t) - це довільний елемент плину і, отже, ми можемо обрати його як завгодно малим, то підінтегральний вираз також дорівнює нулю:
\begin{equation}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt} - \mathbf F_B - \nabla\cdot\mathbf{\Lambda} = 0\label{eq:momentum_dif_form}\end{equation}.
Це дуже загальний баланс імпульсу, що виконується для
всіх точок будь-якого потоку плину (в межах гіпотези неперервності).
Трактування поверхневих сил
Поверхневе напруження складніша величина. Причиною цьому є те, що ми не можемо говорити про напруження в точці не визначивши поверхню на яку це напруження діє.
\Lambda =
\begin{bmatrix}
-p + \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & -p + \tau_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & -p + \tau_{zz} \\
\end{bmatrix} = -p\mathbf I + \mathbf\tau.
\mathbf\tau відомий як
в'язкісний тензор напружень.
Рівняння Нав'є-Стокса
\begin{align*}
\nabla\cdot\Lambda &= \big(-\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\big)\mathbf e_1 +\\
&= \big(-\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}\big)\mathbf e_2 +\\
&= \big(-\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}\big)\mathbf e_3.
\end{align*}
Тепер ми можемо переписати
\ref{eq:momentum_dif_form} у вигляді
\begin{equation}\rho\frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + F_{B,x}\label{eq:momentum_df_tau}\end{equation}
Згадаємо багатовимірний закон в'язкості Ньютона, який надає такі формули для компонентів напруження в'язкості:
\tau_{xx} = 2\mu u_x, \tau_yx = \mu(u_y+v_x), \tau_zx = \mu=\mu(u_z+w_x).
Підставляючи це у другий, третій і четвертий доданки
\ref{eq:momentum_df_tau} маємо
2\mu u_{xx}+\mu(u_y+v_x)_y+\mu(u_z+w_x)_z.
Ми можемо переформатувати це так:
\mu (u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) + \mu (u_x + v_y + w_z)_x,
але ми маємо справу з нестисним потоком, тому згідно з
\ref{eq:incompres_uvw} дивергенція вектора швидкості дорівнює нулю і залишається лише перший доданок.
\rho\frac{Du}{Dt}=-p_x+\mu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+F_{B,x}.
Зазвичай це рівняння ділять на
\rho і представляти його як
u_t + uu_x+vu_y+wu_z = -\frac{1}{\rho}p_x+\nu\Delta u+\frac{1}{\rho}F_{B,x}.
Тут,
\nu -
це кінематична в'язкість.
Рівняння для всіх трьох координат називаються рівняннями Нав'є-Стокса, і вони надають опис в кожній точці для по суті будь-якого нестисного потоку.
Аналіз рівнянь Нав'є-Стокса
\overbrace{\underbrace{u_t}_{\substack{локальне \\ прискорення}} + \underbrace{uu_x+vu_y+wu_z}_{\substack{конвекційне\\ прискорення}}}^{повне\ прискорення} =
\overbrace{-\frac{1}{\rho}p_x}^{сили\ тиску}+
\overbrace{\nu\Delta u}^{сили\ в'язкості}+
\overbrace{\frac{1}{\rho}F_{B,x}}^{масові\ сили}.
Доданки ліворуч в контексті рівнянь Н.-С. часто називають
інерційними.
Сили в'язкості
\nu\Delta u = \nu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}).
Загалом,
доданки у вигляді другої похідної у диференційному рівнянні зазвичай пов'язують із дифузією, і в в обох фізичному і математичному контекстах представляють розмазування, згладжування або змішування.
Ех, зібратись би колись і закінчити це
Примітки
