Баланс -- це питання швидкості зміни густини маси. У цьому дописі ми розглянемо рівняння балансу мас у механіці суцільних середовищ. Тут ми припускаємо, що якщо ми відкотимо деформацію, то ми отримаємо ту саму масу.
Розглянемо те як змінюється
густина по мірі деформації тіла. Важливим припущенням для нас є те, що у густина -- це неперервна функція, і вона залишається неперервною незалежно від сили деформації, тобто ми не розглядаємо можливого утворення дірок.
 |
| Рисунок 1. Перетворення околу точки $\mathbf X,$ який ми позначатимемо $\mathcal N (\mathbf X)$ у окіл точки $\mathbf x$ -- $\mathcal n (\mathbf x).$ |
Для цього зосередимось на околі точки $\mathbf X$ у початковій конфігурації тіла - $\Omega_0.$ З плином часу цей окіл деформується в окіл точки $\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t).$
Зауважимо, що $\rho_0(\mathbf X) = \lim_{\operatorname{vol}({\mathcal N(\mathbf X))}\to 0}\frac{\operatorname{m}(\mathcal N(\mathbf X))}{\operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))}.$
Тепер розглянемо
$$
\begin{align*}
\rho(\mathbf x, t) &= \lim_{\operatorname{vol}({\mathcal n(\mathbf x))}\to 0}\frac{\operatorname{m}(\mathcal n(\mathbf x))}{\operatorname{vol}(\mathcal n(\mathbf x))}\\
&=\lim_{\operatorname{vol}({\mathcal N(\mathbf x))}\to 0}\frac{\operatorname{m}(\mathcal n(\mathbf x))}{\operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))}\frac{\operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))}{\operatorname{vol}(\mathcal n(\mathbf x))}\\
&=\rho_0(\mathbf X) \det (\mathbf F^{-1}).
\end{align*}
$$
Тут ми використали
градієнт деформації $F = \frac{\partial \mathbf x}{\partial \mathbf X},$ за допомогою якого ми можемо перейти від початкового об'єму до об'єму в час $ t$. А саме, ми знаємо, що $\operatorname{vol}(\mathcal n(\mathbf X)) = \det (\mathbf F) \operatorname{vol}(\mathcal N(\mathbf X))$.
$$
\begin{equation}
{\rho(\mathbf x, t)\Big\vert\,}_{\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t)} = \rho_0(\mathbf X)\det \left(\mathbf F^{-1}(\mathbf X, t)\right) = \rho_0(\mathbf X) \mathcal J^{-1}(\mathbf X, t).
\label{eq:rho}
\end{equation}
$$
Відображаючи умову вказану на початку допису, а саме, того що густина початкової конфігурації не залежить від часу, маємо:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \rho_0(\mathbf X)}{\partial t} = 0.
\end{equation}
$$
Як щодо $\rho (\mathbf x, t)$?
$$\rho_0(\mathbf X) = {\rho(\mathbf x, t)\Big\vert\,}_{\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t)} \mathcal J (\mathbf X, t).$$
$$
\begin{align}
{\frac{\partial \rho_0(\mathbf X)}{\partial t}\Bigg\vert}_{\mathbf X - стала} &= \frac{\mathrm D \rho(\mathbf x, t)}{\mathrm D t} \mathcal J (\mathbf X, t) + \rho(\mathbf x, t) {\frac{\partial \mathcal J (\mathbf X, t)}{\partial t}\Bigg\vert}_{\mathbf X - стала}\nonumber\\
&=\left(\frac{\partial \rho(\mathbf x, t)}{\partial t} + \nabla \rho(\mathbf x, t) \cdot \mathbf{v}(\mathbf x, t)\right)\mathcal J (\mathbf X, t) + \rho(\mathbf x, t)\dot{\mathcal J}(\mathbf X, t),\label{eq:rho0dert}
\end{align}
$$
Тут $\frac{\mathrm D \rho(\mathbf x, t)}{\mathrm D t}$ позначає матеріальну похідну. Тепер розглянемо $\dot{\mathcal J}(\mathbf X, t)$ :
$$
\begin{align}
\dot{\mathcal J}(\mathbf X, t) &= \frac{\partial \det\left(\mathbf F(\mathbf X, t)\right)}{\partial t}\nonumber\\
&= \frac{\partial \det(\mathbf F(\mathbf X, t))}{\partial \mathbf F(\mathbf X, t)} \mathbf{:} \frac{\partial \mathbf F(\mathbf X, t)}{\partial t}\nonumber\\
&= \frac{\partial \det(\mathbf F(\mathbf X, t))}{\partial F(\mathbf X, t)_{iI}} \frac{\partial F(\mathbf X, t)_{iI}}{\partial t}\label{eq:dotIpre}.
\end{align}
$$
Тут значок $\mathbf{:}$ позначає
згортку тензорів. Градієнт деформації має індекси, що складаються з великої і малої літери бо це двоточковий тензор, тобто він слугує для зв'язку між початковою і поточною конфігураціями.
З цього моменту, усюди де це само собою зрозуміло я не писатиму параметри функції.
$$\frac{\partial \det(\mathbf F)}{\partial \mathbf F_{iI}} = \frac{\partial \frac{1}{6}\varepsilon_{abc}\varepsilon_{ABC}F_{aA}F_{bB}F_{cC}}{\partial F_{iI}} = \operatorname{Cof}(\mathbf F)_{iI}$$
Де $\varepsilon_{ijk}$ -- це
символ Леві-Чивіти, а $\operatorname{Cof}(\mathbf F)_{iI}$ -- це
кофактор.
Згадаємо формулу для оберненої матриці:
$A^{-1}_{ij}=\frac{\operatorname{Cof}(A^T_{ij})}{\det{A}},$ або в матричному вигляді: $A^{-1} = \frac{\operatorname{Cof}A^T}{\det A}$.
Отже, $\ref{eq:dotIpre}$ можна записати як:
$$\dot{\mathcal J} = \mathcal J \mathbf F^{-T} \mathbf{:} \dot{\mathbf F} = \mathcal{J} \dot{F}_{iI} F^{-1}_{Ii} = \mathcal{J} \operatorname{trace}(\dot{\mathbf F} \mathbf F^{-1}) = \mathcal J \mathbb{I}\mathbf{:}(\dot{\mathbf F} \mathbf F^{-1}).$$
Для того, щоб рухатись далі нам потрібно розглянути градієнти матеріальної і просторової швидкостей.
Градієнт матеріальної швидкості $\mathbf V$:
$\frac{\partial}{\partial \mathbf X}\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf X} = \frac{\partial}{\partial t} \mathbf F = \dot{\mathbf F}.$
Градієнт просторової швидкості $\mathbf v$:
${\frac{\partial}{\partial \mathbf x}\frac{\partial \Phi}{\partial t}\Bigg\vert}_{\mathbf x = \Phi(\mathbf X, t)} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf X}\frac{\partial \mathbf X}{\partial \mathbf x} = \dot{\mathbf F}\mathbf F^{-1}.$
Введемо такі позначення:
$$
\begin{align}
\operatorname{GRAD}\mathbf V &= \frac{\partial \mathbf V}{\partial \mathbf X} = \dot{\mathbf F},\nonumber\\
\mathbf\nabla\mathbf v &= \frac{\partial \mathbf v}{\partial \mathbf x} = \dot{\mathbf F}{\mathbf F^{-1}}\label{eq:spatialgrad}.
\end{align}
$$
Отже, використовуючи \ref{eq:spatialgrad} маємо, що $\dot{\mathcal J} = \mathcal J \operatorname{trace}(\mathbf\nabla \mathbf v).$ Підставляючи в \ref{eq:rho0dert} отримуємо:
$$
\frac{\partial \rho_0}{\partial t} = \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v + \rho \operatorname{trace}(\mathbf\nabla\mathbf v)\right)\mathcal J = 0.
$$
Тут ми знаємо, що $\mathcal J \ne 0,$ властивість непроникності речовини, отже ми можемо поділити на $\mathcal J$ і отримати:
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v + \rho \operatorname{trace}(\mathbf\nabla\mathbf v) = 0.
$$
Щоб спростити далі зауважимо, що $\mathbf\nabla\mathbf v = \frac{\partial \mathbf v_{i}}{\partial \mathbf x_j}\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j,$ відповідно
слід цієї матриці дорівнює $\nabla \cdot \mathbf v.$ І, нарешті,
рівняння збереження маси в поточній конфігурації таке:
$$
\begin{equation}
\boxed{
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v + \rho \nabla \cdot \mathbf v = 0.
}\label{eq:massconscur}
\end{equation}
$$
У випадку
нестисних плинів $\nabla \cdot \mathbf v = 0,$ тому
$$
\begin{equation}
\boxed{
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \rho\cdot \mathbf v = 0.
}\label{eq:massconscurincompress}
\end{equation}
$$
Зауважте, що ми можемо поєднати два останні доданки у \ref{eq:massconscur}:
$$
\boxed{
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot( \rho \mathbf v) = 0.
}
$$
Див. також
