Властивості біноміального розподілу

$S_n -$ кількість успіхів у вибірці розміру $n.$ $$b(k) = b_n(k,p) = {n \choose k}p^kq^{n-k}, (k = 0,1,\cdots,n)$$

Унімодальність

$$\frac{b(k)}{b(k-1)} = \frac{{n \choose k}p^kq^{n-k}}{{n \choose k-1}p^{k-1}q^{n-k+1}}=\frac{(n-k+1)p}{kq}.$$ Отже, ймовірність зростає допоки $\frac{(n-k+1)p}{kq} > 1.$
$b(k) > b(k-1)$ тоді і тільки тоді, коли $(n-k+1)p > kq.$ Або: $np+p>kp+kq = k.$
$S_n/n,$ співвідношення успіхів у вибірці розміру $n$ досягає максимуму біля $p.$

Центр мас

$$\mu = 0 \cdot b(0) + 1 \cdot b(1) + \cdots + k \cdot b(k) + \cdots + n \cdot b(n) = \sum_{k=1}^n k\cdot b_n(k;p) =: \mbox{E}(S_n)$$ $\mbox E -$ математичне сподівання.
Погравшись із коефіцієнтами і факторіалами ми можемо отримати такі дві тотожності: $$k\cdot b_n(k;p) = np \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-k} = np \cdot b_{n-1}(k-1;p)$$ $$k^2\cdot b_n(k;p) = n(n-1)p^2\cdot b_{n-2}(k-2;p)+np\cdot b_{n-1}(k-1;p)$$ Використовуючи першу тотожність маємо, що $$\mbox E(S_n) = np \sum_{k=1}^n b_{n-1}(k-1;p) = np.$$ Таким чином, ми бачимо, що центр мас майже збігається з піком на графіку біноміального розподілу, тобто маси розподілені майже порівну по обидва боки піка.

Момент інерції

Згадаємо, що таке момент інерції: $$I = mr^2$$ Дисперсія $S_n:$ $$\sigma^2 = (0 - np)^2\cdot b(0) + (1-np)^2\cdot b(1) + \cdots +(k-np)^2\cdot b(k) + \cdots + (n-np)^2\cdot b(n)$$ $$\mbox{Var}(S_n) := \sigma^2 = \Sigma_k (k-np)^2\cdot b_n(k;p)$$ Отже, дисперсія - це момент інерції, де $b(k)$ - це функція маси. Очікуване квадратичне відхилення.
Стандартне відхилення $S_n:$ $\sigma = \sqrt{\mbox{Var}(S_n)}.$

Тут нам і стануть в нагоді отримані в попередньому розділі тотожності.

$\sigma^2=$	$\Sigma_k (k-np)^2\cdot b_n(k;p)$
$=$	$\Sigma_k k^2 \cdot b_n(k;p) - 2np\Sigma_k k\cdot b_n(k;p) + n^2p^2\Sigma_k b_n(k;p)$
$=$	$\big(n(n-1)p^2 + np\big) - 2np\big(np\big) +n^2p^2\big(1\big)$
$=$	$-np^2+np$
$=$	$npq$

Якщо $S_n \sim \mbox{Binomial}(n,p),$ тоді $\mbox{Var}(S_n) := \sigma^2 = npq.$
Отже, $\sigma = \sqrt{npq}.$