Розподіл Пуассона (рідкісні події)

Біноміальна ймовірність коли $p \ll 1$ та $n \gg 1$. Зафіксуємо $k$ і покладемо $\lambda = np$, тоді $${n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}= p(k) = \underbrace{p(k;\lambda)}_{Po(k;\lambda)} := e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \ \ (k=0,1,2,\cdots)$$ $$\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(1- \frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\left(\frac{\lambda}{n}^k\right)\frac{n!}{(n-k)!k!} \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$

Властивості:

Унімодальність

Центрування

Розповсюдження навколо центра

Дзвоноподібна крива

Унімодальність

$$\frac{p(k)}{p(k-1)} = \frac{\lambda}{k}$$ $p(k) > p(k-1)$ тоді і тільки тоді, якщо $\lambda > k.$

Тотожності Пуассона:
$$k\cdot p(k;\lambda) = \lambda\cdot p(k-1;\lambda)$$ $$k^2 \cdot p(k;\lambda) = \lambda^2\cdot p(k-2;\lambda) + \lambda\cdot p(k-1;\lambda)$$

Математичне сподівання

$\mbox{E}(X) := \mu$	$= 0\cdot p(0) + 1\cdot p(1) + \cdots + k\cdot p(k) + \cdots$
	$=0+ \lambda\cdot p(1-1) + \cdots + \lambda\cdot p(k-1) + \cdots$
	$=\lambda$

Якщо $X \sim \mbox{Poisson}(\lambda),$ тоді $\mbox{E}(X)=\lambda.$

Дисперсія

Ми розглядаємо дисперсію як ймовірнісний момент інерція або очікуваний розкид навколо математичного сподівання. $$\mbox{Var}(X):=\sigma^2 = \Sigma_k (k-\lambda)^2\cdot p(k) = (\lambda^2+\lambda)-(2\lambda\cdot\lambda)+(\lambda^2\cdot 1) = \lambda$$ Тут ми використали тотожності Пуассона і формулу для квадрата суми.
Якщо $X \sim \mbox{Poisson}(\lambda),$ тоді $\mbox{Var}(X)=\lambda.$