Загальна транспортна теорема
Нехай $\mathbf F$ буде гладким векторним або скалярним полем в області $\mathcal R(t)$ чиї межі це $\mathcal S(t),$ і нехай $\mathbf W$ буде полем швидкостей часозалежного руху $\mathcal S(t).$ Тоді
$$\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf F(x, t)\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F\mathbf W \cdot \mathbf n\ dA.$$
Транспортна теорема Рейнольдса
Нехай $\mathbf\Phi$ буде гладким векторним або скалярним полем, і припустимо, що $\mathcal R(t)$ це пакунок плину з поверхнею $\mathcal S(t),$ що мандрує зі швидкістю потоку $\mathbf U.$ Тоді
$$\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\mathbf\Phi\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial\mathbf\Phi}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\mathbf\Phi \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.$$
Виведення з Загальної транспортної теореми.
Якщо наша область рухається зі швидкістю потоку, то $\mathbf W = \mathbf U$ і загальна похідна перетворюється на матеріальну.
1
Рівняння неперервності для контрольного об'єму
Почнемо з розглядання фіксованої маси плину $m,$ що міститься в
довільній області $\mathcal R(t).$
$$m=\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.$$
$\mathcal R(t), m$ можуть змінюватись з часом, але маса повинна залишатись незмінною. Наприклад, можна розглянути повітряну кульку з теплим повітрям у холодному середовищі.
$$\frac{dm}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV.$$
Застосувавши загальну транспортну теорему маємо:
$$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf W\cdot \mathbf n\ dA = 0.$$
У плинових системах зазвичай зручно вважати, що поле швидкостей $\mathbf W$ було полем швидкостей плину, що відповідає розгляданню на локальному рівні нашої області як пакунок плину.
$$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho \mathbf U\cdot \mathbf n\ dA = 0.$$
Використавши формула Остроградського-Гауса ми позбуваємось двох типів інтегралів залишаючи лише інтеграл по об'єму:
$$\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.$$
З того, що область $\mathcal R(t)$ було обрана довільно ми можемо вважати, що це діє і для наскільки завгодно малої області (в рамках нашої гіпотези неперервності), тобто інтеграл мусить бути нулем усюди в $\mathcal R(t)$. Якщо це не так ми можемо розділити $\mathcal R(t)$ на дві підобласті додатну і від'ємну і показити цим порушення рівності нулю. Отже,
$$\begin{equation}\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U=0\label{eq:cont_eq_df}\end{equation}.$$
Це
диференціальна форма рівняння неперервності.
Якщо розписати оператор дивергенції, то маємо
$$\begin{equation} \rho_t + (\rho u)_t + (\rho v)_t + (\rho w)_t = 0\label{eq:cont_eq_div_decomp}\end{equation}.$$
Тепер можна використати добутку для похідних
$$\frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot \mathbf U = 0\label.$$
У випадку
нестисного потоку, $\rho - $ стале, маємо
$$\begin{equation}u_x + v_y + w_z = 0\label{eq:incompres_uvw}\end{equation}.$$
Аналіз у випадку контрольного об'єму
Оскільки $\ref{eq:cont_eq_df}$ виконується для будь-якого об'єму, то ми можемо записати його і для пакунку плину
$$\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \mathbf U\ dV = 0.$$
Тепер ми використаємо формулу Остроградського-Гауса в іншому напрямку
$$\int_{\mathcal R(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV + \int_{\mathcal S(t)} \rho \mathbf U \cdot \mathbf n = 0.$$
Тепер Загальну транспортну теорему
$$\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.$$
Якщо $\mathcal S_e(t)$ - зона входів і виходів через які плин може втікати і витікати, то
$$\frac{d}{dt} \int_{\mathcal R(t)}\rho\ dV + \int_{\mathcal S_e(t)}\rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot \mathbf n \ dA = 0.$$
Це рівняння називається
рівняння неперервності для контрольного об'єму і виражає очевидний факт, що
| $\{$ |
швидкість збільшення маси
контрольного об'єму |
$\}$ |
= |
$\{$ |
сумарний потік
крізь поверхню |
$\}$ |
Спрощення
Якщо густина незмінна з часом, а контрольний об'єм нерухомий, тобто $\mathbf W = 0,$ тоді можна записати
$$\begin{equation}\int_{\mathcal S_e(t)}\rho\mathbf U \cdot \mathbf n\ dA = 0\label{eq:cv_simple}\end{equation}.$$
Рівняння $\ref{eq:cv_simple}$ вимірюється в одиницях $\rho U A,$ тобто $\frac{M}{L^3}\frac{L}{T}L^2 = \frac{M}{T}.$ Ми називаємо це
масовою ви́тратою $\dot m = \rho U A.$ У випадку часозалежної поверхні маємо
$$\dot m = \int_{\mathcal S_e(t)} \rho(\mathbf U - \mathbf W)\cdot n\ dA.$$
Рівняння імпульсу потоку плину
Тут нам знадобиться закон Ньютона, який ми запишемо в альтернативній формі
$$F/V = \frac{d}{dt}(\rho u).$$
На відміну від випадку з рівнянням неперевності наша область одразу буде пакунком плину.
Якщо ми використовуємо Ейлерову точку зору, то швидкість зміни вектора імпульсу $\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV.$
Маємо основні два типи сил, які треба врахувати:
- масова сила - $\int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV,$
- поверхнева сила - $\int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA.$
$$\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho \mathbf U\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum}\end{equation}.$$
Не дуже зручно мати в одному рівнянні два типи інтегралів: по поверхні і по об'єму. Також хотілось би використовувати змінні, які звичні інженерних обчислень, тому потрібно виразити об'єм і поверхню через ці змінні.
Зауважимо, що масові сили досить прості, тобто зазвичай це лише виштовхувальна сила через гравітаційне прискорення, $\mathbf F_B = \rho \mathbf g.$ Натомість робота з поверхневими силами вимагає певних серйозних зусиль, тому спочатку ми спростимо рівняння внесенням диференціювання під знак інтеграла. Для цього ми використаємо транспортну теорему Рейнольдса.
$$\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\frac{\partial \rho u}{\partial t}\ dV +\int_{\mathcal S(t)}\rho u \mathbf U \cdot \mathbf n\ dA.$$
Знов використаємо формулу Остроградського-Гауса, щоб отримати інтеграл по об'єму праворуч, під знаком інтегралу маємо
$$\frac{\partial \rho u}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u \mathbf U) = \frac{\partial \rho u}{\partial t} + \mathbf U \cdot \nabla (\rho u) + \rho u \nabla \cdot \mathbf U.$$
Тому що ми маємо справу з нестисним потоком, ми можемо використати $\ref{eq:incompres_uvw}$
$$\begin{equation}\frac{D}{Dt}\int_{\mathcal R(t)}\rho u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho\mathbf U \cdot \nabla u\ dV =\int_{\mathcal R(t)}\rho\frac{D u}{D t}\ dV \label{eq:for_momentum_under_int}\end{equation},$$
де $u$ - це $x-$компонент швидкості. Перезапишемо $\ref{eq:momentum}$ використавши $\ref{eq:for_momentum_under_int}$:
$$\begin{equation}\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf F_S\ dA\label{eq:momentum_under_int}\end{equation}.$$
Ну що ж, нам залишились два кроки: перевести рівняння $\ref{eq:momentum_under_int}$ до диференціальної форми і розібратись із поверхневими силами. Зауважимо, що $\mathbf F_S$ - це вектор і це говорить, що має існувати матриця $\Lambda,$ така що $\mathbf F_S = \mathbf{\Lambda} \cdot \mathbf n.$ З того, що $\mathbf n$ - це чисто геометрична величина, нормаль до поверхні, то фізична сутність поверхневих сил мусить зберігатись в матриці $\mathbf{\Lambda}.$
Тепер ми готові записати базову форму диференціального рівняння імпульсу:
$$\int_{\mathcal R(t)}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt}\ dV = \int_{\mathcal R(t)}\mathbf F_B\ dV + \int_{\mathcal S(t)}\mathbf{\Lambda}\cdot\mathbf n\ dA,$$
Тому що $\mathcal R(t)$ - це довільний елемент плину і, отже, ми можемо обрати його як завгодно малим, то підінтегральний вираз також дорівнює нулю:
$$\begin{equation}\rho \frac{D\mathbf U}{Dt} - \mathbf F_B - \nabla\cdot\mathbf{\Lambda} = 0\label{eq:momentum_dif_form}\end{equation}.$$
Це дуже загальний баланс імпульсу, що виконується для
всіх точок будь-якого потоку плину (в межах гіпотези неперервності).
Трактування поверхневих сил
Поверхневе напруження складніша величина. Причиною цьому є те, що ми не можемо говорити про напруження в точці не визначивши поверхню на яку це напруження діє.
$$\Lambda =
\begin{bmatrix}
-p + \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & -p + \tau_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & -p + \tau_{zz} \\
\end{bmatrix} = -p\mathbf I + \mathbf\tau.$$
$\mathbf\tau$ відомий як
в'язкісний тензор напружень.
Рівняння Нав'є-Стокса
$$
\begin{align*}
\nabla\cdot\Lambda &= \big(-\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\big)\mathbf e_1 +\\
&= \big(-\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}\big)\mathbf e_2 +\\
&= \big(-\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}\big)\mathbf e_3.
\end{align*}
$$
Тепер ми можемо переписати $\ref{eq:momentum_dif_form}$ у вигляді
$$\begin{equation}\rho\frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + F_{B,x}\label{eq:momentum_df_tau}\end{equation}$$
Згадаємо багатовимірний закон в'язкості Ньютона, який надає такі формули для компонентів напруження в'язкості:
$$\tau_{xx} = 2\mu u_x, \tau_yx = \mu(u_y+v_x), \tau_zx = \mu=\mu(u_z+w_x).$$
Підставляючи це у другий, третій і четвертий доданки $\ref{eq:momentum_df_tau}$ маємо
$$2\mu u_{xx}+\mu(u_y+v_x)_y+\mu(u_z+w_x)_z.$$
Ми можемо переформатувати це так:
$$\mu (u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) + \mu (u_x + v_y + w_z)_x,$$
але ми маємо справу з нестисним потоком, тому згідно з $\ref{eq:incompres_uvw}$ дивергенція вектора швидкості дорівнює нулю і залишається лише перший доданок.
$$\rho\frac{Du}{Dt}=-p_x+\mu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+F_{B,x}.$$
Зазвичай це рівняння ділять на $\rho$ і представляти його як
$$u_t + uu_x+vu_y+wu_z = -\frac{1}{\rho}p_x+\nu\Delta u+\frac{1}{\rho}F_{B,x}.$$
Тут, $\nu$ -
це кінематична в'язкість.
Рівняння для всіх трьох координат називаються рівняннями Нав'є-Стокса, і вони надають опис в кожній точці для по суті будь-якого нестисного потоку.
Аналіз рівнянь Нав'є-Стокса
$$\overbrace{\underbrace{u_t}_{\substack{локальне \\ прискорення}} + \underbrace{uu_x+vu_y+wu_z}_{\substack{конвекційне\\ прискорення}}}^{повне\ прискорення} =
\overbrace{-\frac{1}{\rho}p_x}^{сили\ тиску}+
\overbrace{\nu\Delta u}^{сили\ в'язкості}+
\overbrace{\frac{1}{\rho}F_{B,x}}^{масові\ сили}.$$
Доданки ліворуч в контексті рівнянь Н.-С. часто називають
інерційними.
Сили в'язкості
$$\nu\Delta u = \nu(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}).$$
Загалом,
доданки у вигляді другої похідної у диференційному рівнянні зазвичай пов'язують із дифузією, і в в обох фізичному і математичному контекстах представляють розмазування, згладжування або змішування.
Ех, зібратись би колись і закінчити це
Примітки
